Контрольная работа по "Методы оптимальных решений"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

В а р и а н т   2

Задание 1.            Пусть экономическая ситуация описывается как задача линейного программирования вида:

           F  = 3x1 + x2 ® max

                 2x1 + x2 ≤ 10 [pic 1]

  1 ≤ x1 ≤ 4

           x2 ≥ 1

  x1 ≥ 0  

Постройте графическую модель задачи и найдите ее решение графическим методом.

Р е ш е н и е  :

Приведём задачу к стандартному виду ЗЛП :

        F = 3x1 +  x2 → max [pic 2]

2x1 + x2 ≤ 10

  x1 ≥ 1

  x1 ≤ 4

  x2 ≥ 1.

  Построим область допустимых решений (ОДP) Для этого построим прямые

( заменяем знаки неравенства на «=» )

               2x1 + х2 = 10               (1)    

                       х1  = 1                 (2)

                       х1  = 4                 (3)

                       х2  = 1                 (4)

( прямую (1) cтроим по точкам (1; 8) и (5; 0) )

[pic 3]

Получили ОДР – трапецию ABCD. Направление максимизации целевой функкции (ЦФ) F = 3х1 + х2   задаёт вектор-градиент ( розовая стрелка ), его координаты – коэффициенты ЦФ, (3; 1) . Линии уровня ЦФ (краcный пунктир) – это прямые F = C, т.е.  3х1 + х2 = С, они перпендикулярны градиенту.  Проводим произвольно линию уровня через начало координат ( при С = 0 короткий пунктир) или через конец вектора (3; 1) . При решении задачи на максимум нужно двигать эту прямую по градиенту до последнего касания этой прямой с ОДР в точке D.

[pic 4]

   Так как точка D получена в результате пересечения прямых (1) и (3), то ее    

координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:[pic 5]

       2x1+ x2 = 10

         x1 = 4

откуда получим: x1 = 4, x2 = 2  или Х* = (4; 2).

Тогда  максимальное значение целевой функции:

  max F = F(X*) = 3*4 + 1*2 = 14

Ответ :   max F = F(4; 2 ) = 14

Задание 2

Для производства 4-х видов продукции используется 3 вида сырья. Нормы расхода сырья (кг), его запасы (кг), прибыль от реализации единицы продукции заданы таблицей.

1. Составить задачу линейного программирования, позволяющую определить оптимальный план выпуска продукции, обеспечивающий получение максимальной прибыли.

2. Решить задачу, используя симплекс-метод. Записать решение и пояснить его экономический смысл.    Важно:   количество продукции каждого вида может принимать дробные значения.

          3. Составить двойственную задачу. Найти решение двойственной задачи,

          используя симплекс-таблицы, полученные при решении исходной задачи.    

           Пояснить экономический смысл решения.

Р е ш е н и е  :

1.  Обозначим : х1, x2 х3 х4 - план производства видов продукции  И1 И2 И3 И4 соответственно. Тогда затраты ресурсов на план  : А – (4х1+5х2+10х3+2х4),

В – (5х1+15х2+20х3+5х4), С – (40х1+10х2+15х3+20х4),  прибыль равна:

  6х1 + 7,5х2 + 10х3 + 15х4 (де.).

Получаем задачу ЛП :  

        F = 6х1 + 7,5х2 + 10х3 + 15х4 → max

            4х1+5х2+10х3+2х4 ≤ 30[pic 6]