Контрольная работа по "Методу оптимальных решений"

Содержание

Задание 1        4

Задание 2        7

Задание 3        13

Задание 4        16

Задание 5        20

Список использованной литературы        25

Задание 1

Решить задачу линейного программирования графическим методом, либо с помощью Microsoft Office Excel.  

[pic 1]

Решение

Мы решим задачу графическим методом.

Построим множество допустимых решений или, что то же самое, область допустимых решений. Условия неотрицательности переменных       х1 ≥ 0 и х2 ≥ 0 показывают, что область допустимых решений будет лежать в первом квадранте системы координат.

Давайте построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (рис. 1). Построим уравнение [pic 2] по двум точкам.

Теперь нужно выбрать одну из двух полуплоскостей, на которые прямая разделила плоскость, и заштриховать эту полуплоскость. Чтобы правильно выбрать, возьмем точку плоскости, не лежащую на прямой, и подставим ее в неравенство. Например, точка  [pic 3] не лежит на прямой:  

[pic 4].

Неравенство верное, следовательно, нас интересуют точки лежащие выше построенной нами прямой.

Аналогично построим уравнение [pic 5] по двум точкам.

Определим полуплоскость, задаваемую неравенством: [pic 6] в полуплоскости ниже прямой.

Построим уравнение [pic 7] по двум точкам.

Определим полуплоскость, задаваемую неравенством: [pic 8] в полуплоскости выше прямой.

[pic 9]

Рис. 1. Область допустимых решений

Обозначим границы области многоугольника решений. При анализе рис. 1 можем сделать вывод, что областью допустимых решений (ОДР) является пятиугольник с вершинами ABCDE.

Рассмотрим целевую функцию задачи:

[pic 10]        

Построим прямую, отвечающую значению функции [pic 11]:

[pic 12].

Вектор-градиент [pic 13], составленный из коэффициентов  целевой функции, указывает направление максимизации [pic 14]. Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (1; 1). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую в направлении вектора-градиента до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией (рис. 2).

[pic 15]

Рис. 2. Прямая целевой функции на максимум

Прямая [pic 16]  пересекает область в точке С. Так как точка С получена в результате пересечения прямых, заданных уравнениями [pic 17] и [pic 18], то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых.

Решаем систему уравнений:

[pic 19]

Решив систему уравнений, получили:

x1 = 10;                 x2 = 9.

Найдем максимальное значение целевой функции:

[pic 20].

        Ответ. [pic 21]; [pic 22].

Задание 2

        Решить транспортную задачу: