Контрольная работа по "Методам оптимальных решений"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Уральский государственный экономический университет»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Методы оптимальных решений»

Вариант                2                

Нижний Тагил

2018 г

СОДЕРЖАНИЕ

Задача1 

Для изготовления сыров Camamber и Brie используется сырье трех видов. Запасы сырья известны и равны соответственно: 300, 306 и 360 тонн. Количество сырья каждого вида, необходимое для производства единицы сыра Camamber соответственно равны: 15, 12 и 3 тонны. Для сыра Brie: 2, 6 и 12 тонн. Прибыль от реализации сыра Camamber составляет 9 условных единиц, от сыра Brie — 6 условных единиц. Составить план, обеспечивающий наибольшую прибыль производству.

а) записать математическую модель;

б) решить задачу графическим методом;

в) решить задачу симплекс-методом;

г) к исходной задаче записать двойственную и решить её, используя соотношение двойственности и решение исходной.

Решение

а) Пусть теперь x1 – количество (т) сыра Camamber; х2 – количество (т) сыра Brie. Тогда компоненты х1, х2 производственного плана (х1; х2), очевидно, должны удовлетворять следующим условиям-ограничениям по затратам ресурсов

[pic 1]

Требуется найти план, приносящий наибольший доход, т. е. найти допустимый план, для которого функция

F = 9x1+6x2 → max,

б) В плоскости строим декартову систему координат с осями х1 и х2. Находим сначала решение первого неравенства: 15х1 + 2х2 ≤300 Рассматривая его как равенство 15х1 + 2х2 = 300, строим отвечающую этому уравнению прямую, выбрав в качестве ее двух точек точки (20; 0) и (0; 150) пересечения прямой с осями х1 и х2. Берем не лежащую на прямой контрольную точку 0 (0; 0), подставляем ее координаты в неравенство, получаем: 15×0 +2×0 = 0<300

Аналогично находим решение остальных 5 неравенств (включая условия неотрицательности на неизвестные x1 и х2

[pic 2]

рис.1

[pic 3]

рис.2

Точки, являющиеся общими для всех полуплоскостей, образуют многоугольник ABСD. Строим вектор   (9; 6) – вектор целевой функции задачи. Для этого точку начала координат 0 (0; 0) соединяем отрезком с точкой  (9; 6) и стрелкой задаем направление вектора. Заметим, что так как для решения задачи достаточно знать лишь направление вектора Таким образом, оптимальное решение задачи определяется координатами точки С. Так как в точке С пересекаются прямые, отвечающие первому и второму неравенствам, то ее координаты находим из решения системы уравнений[pic 4]

15x1+2x2=300
13x1+12x2=360
Решив систему уравнений, получим: x1 = 18.7013, x2 = 9.7403
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 9*18.7013 + 6*9.7403 = 226.7532

в) Прежде всего приведем задачу к каноническому виду, вводя в каждое основное неравенство свою дополнительную неотрицательную переменную хi, i=3,4,5 и переходя к ограничениям в форме равенств:

15x1+2x2+x3 = 300
12x1+6x2+x4 = 306
13x1+12x2+x5 = 360