Контрольная работа по "Математическому моделированию"

[pic 1][pic 2]

[pic 3][pic 4][pic 5]

Задание по дисциплине

«Математическое моделирование»

(1 семестр)

Задача 1

Поставить задачу линейного программирования и найти оптимальное решение в ситуации: «Грузоперевозчик покупает автомобили. Бюджет покупки – 150 д.е. Цена 3-тонного автомобиля составляет 4 д.е., 5-тонного – 5 д.е. Возможности грузоперевозчика по техническому обслуживанию автомобилей – не более 20 единиц 3-тонных автомобилей сразу и не более 18 единиц 5-тонных. Сколько и каких автомобилей купить для обеспечения максимальной суммарной грузоподъемности автопарка».

РЕШЕНИЕ

По исходным данным составим задачу линейного программирования

   L (х1, х2) = 3х1 + 5х2   → max[pic 6]

  х1 < 20

  x2 < 18

  4x1 + 5x2 <150

х1, x2 >  0

х1, x2 – целые числа

Поскольку задача имеет две неизвестных, её можно решить графическим способом, приняв за оси координат х1 и x2. Для построения графиков знаки неравенств поменяем на знаки равно.

х1 = 20

x2 =18

4x1 + 5x2 = 150

Графиками функций данных уравнений являются прямые линии. Построим их.

1) Рассмотрим функцию х1 = 20 (рис.1)

Для определения области значений неравенства относительно прямой линии, приравняем х1 = 0.

Поскольку условие 0 < 20 выполняется, значит х1 = 0 принадлежит данной области. Заштрихуем эту область.

2) Рассмотрим функцию x2 =18 (рис.1)

Для определения области значений неравенства относительно прямой линии, приравняем x2 = 0.

Поскольку условие 0 < 18 выполняется, значит x2 = 0 принадлежит данной области. Заштрихуем эту область.

3) Рассмотрим функцию 4x1 + 5x2 = 150

Для построения данной функции (вычисления координат двух точек) сначала приравняем к нулю x1, затем x2, получим:

х1 = 0 → 4*0 + 5x2 = 150 → x2 = 150/5= 30

x2 = 0 → 4x1 + 5*0 = 150 → x1 = 150/4 = 37,5

Получаем две точки (х1; x2): (0; 30) и (37,5; 0), и далее построим график по данным точкам. (рис.1)

Для определения области значений неравенства относительно прямой линии, приравняем обе переменные х1 = 0 и x2 = 0.

0 + 0 < 150 → неравенство верно, следовательно, точка (0; 0) принадлежит данной области и находится ниже прямой.

[pic 7]

4) Не забываем про условие неотрицательности переменных, заштриховывая области от осей x1 и x2 больше нуля.

5) Определяем координаты вектора градиента целевой функции, вычисляя частные производные целевой функции

grad = (3х1)'+(5х2)' → (3; 5)

Строим направление вектора градиента из начала координат (0; 0) в точку (3; 5). Далее строим плоскость, перпендикулярную градиенту и двигаем плоскость параллельным переносом по направлению вектора градиента. Оптимальный план будет найден в крайней вершине области допустимых решений, в которой плоскость соприкасается с областью допустимых решений, и, если двигать плоскость дальше, то она покинет область допустимых решений.

Определяем, что такой вершиной является точка пересечения двух прямых: х2 = 18 и 4x1 + 5x2 = 150.

Найдём её координаты. Поскольку известен х2 = 18, подставим его значение по вторую формулу и найдем x1

4x1 + 5x2 = 150 → x1 = (150 – 5*18)/4 = 15

Получили координаты вершины х2 = 18, x1 = 15

Выполним проверку

4x1 + 5x2 < 150 → 4*15+5*18 ≤ 150 → 60+90 ≤ 150 → 150 ≤ 150

Решение верно. Переходим к поиску максимальной грузоподъёмности, подставляя найденные значения в целевую функцию, получаем

L (х1, х2) = 3х1 + 5х2 = 3*15+5*18=45+90 = 135