Застосування апарату одновимірної та багатовимірної безумовної оптимізації до визначення екстремуму (нуля) неперервної функції

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ[pic 1]

МІСЬКОГО  ГОСПОДАРСТВА імені О. М. БЕКЕТОВА

Звіт до практичного завдання № 1

з дисципліни: «Математичне моделювання та оптимізація інформаційних процесів»

Виконала:

Студентка 1-го курсу

групи М КН 2019-1

Бєлєнькова Катерина Олегівна

Перевірила:

Завідувач кафедри ПМтаІТ

Новожилова Марина Володимирівна

Харків – 2020 рік

Тема: Застосування апарату одновимірної та багатовимірної безумовної оптимізації до визначення екстремуму (нуля) неперервної функції

Мета роботи:  Навчитися визначати координати точки екстремуму функції , тип екстремуму в точці (x*,y(x*))  заданої функції, здійснити реалізацію методики розв’язання задачі та геометричну інтерпретацію процесу розв’язання задачі за допомогою обраного програмного середовища.

Теоретичні відомості

У математиці, квадратична функція – це поліноміальна функція з старшим членом другого порядку, тобто функція форми[pic 2][pic 3].

 Графіком [pic 4][pic 5] квадратичної функції служить парабола з віссю, паралельною осі Oy. При  b=c=0 вершина параболи опиняється в точці  (0;0).

Нулі квадратичної функції [pic 6][pic 7] це значення x такі, що [pic 8][pic 9].

Коли коефіцієнти a,b і c – дійсні чи комплексні, тоді корені дорівнюють:

[pic 10][pic 11] ,

де дискримінант визначений як [pic 12][pic 13].

Загальні властивості квадратичної функції:

1. Область визначення квадратичної функції – вся числова пряма.
2. При [pic 14][pic 15] функція не є парною і не є непарною. При [pic 16][pic 17] квадратична функція – парна.
3. Квадратична функція неперервна і диференційована на всій області визначення.
4. Функція має єдину, критичну точку [pic 18][pic 19]
5. Область зміни функції при [pic 20][pic 21] - безліч значень функції [pic 22][pic 23], при [pic 24][pic 25] – безліч значень функції [pic 26][pic 27].

У загальному випадку вершина параболи лежить в точці [pic 28][pic 29]. Якщо [pic 30][pic 31], то гілки параболи спрямовані вгору, якщо [pic 32][pic 33], то гілки параболи спрямовані вниз.

Якщо [pic 34][pic 35], то в точці[pic 36][pic 37] функція має мінімум. При [pic 38][pic 39] функція монотонно спадає, при [pic 40][pic 41] монотонно зростає.

Якщо [pic 42][pic 43], то в точці[pic 44][pic 45] функція має максимум. При [pic 46][pic 47] функція монотонно зростає, при [pic 48][pic 49] монотонно спадає.

Точка графіка квадратичної функції з абсцисою [pic 50][pic 51] і ординатою [pic 52][pic 53] називається вершиною параболи.

Графік квадратичної функції перетинається з віссю Oy в точці y = c. У випадку, якщо [pic 54][pic 55], графік квадратичної функції перетинає вісь Ox в двох точках (різні дійсні корені квадратного рівняння); якщо [pic 56][pic 57] (квадратне рівняння має один корінь кратності 2), графік квадратичної функції торкається осі Ox в точці [pic 58][pic 59]; якщо [pic 60][pic 61], перетину з віссю Ox немає.

З запису квадратичної функції також випливає, що графік симетричний відносно прямої [pic 62][pic 63] - образу осі ординат при паралельному перенесенні [pic 64][pic 65].

Графік функції [pic 66][pic 67] або  [pic 68][pic 69] може бути отриманий з графіка функції  [pic 70][pic 71] наступним перетворенням:

1. Паралельним перенесенням [pic 72][pic 73];
2. Стисненням (або розтягуванням) до осі абсцис в а разів;
3. Паралельним перенесенням [pic 74][pic 75].

Похідна квадратичної функції має вигляд: [pic 76][pic 77].

Опис алгоритму розв’язання задачі

В якості функції, що розглядається , виступає квадратична функція вигляду:

[pic 78][pic 79],

де екзогенні параметри a, b, c, r – є константами і c має задовольняти умови