Комп’ютерний розрахунок оптимальних умов хіміко – технічних процесів із застосуванням градієнтних методів багатовимірної оптимізації

Рудь Анастасія, ХЕ -81

Лабораторна робота № 13

Тема: Комп’ютерний розрахунок оптимальних умов хіміко – технічних процесів із застосуванням градієнтних методів багатовимірної оптимізації

Варіант 10

Мета роботи: оволодіння методикою комп’ютерного розрахунку оптимальних умов хіміко – технологічного процесів із використанням градієнтних методів багатомірної оптимізації у інтегрованому програмному середовищі Mathcad.

Завдання: Відповідно до наданого індивідуального завдання (адекватної математичної моделі процесу) визначити при яких змінних буде спостерігатися максимум/мінімум цільової функції.

Теоретичні відомості

Градієнт – це вектор, який за напрямом співпадає з напрямком найшвидшого зростання цільової функції f(х1, х2, … , хn). Елементи цього вектора є частинні похідні першого порядку по всіх незалежних змінних функції f(), де ẋ = (х1, х2, … , хn). Позначають так:  (або grad f(ẋ)). Нехай потрібно знайти min f()[pic 1][pic 2][pic 3]

Метод релаксації. Алгорит цього методу:

1. Задати:

n –розмірність задачі;

 - початкову точку;[pic 4]

h – величина інтервалу, в якому відбувається одномірний пошук;

δ – точність одновимірної оптимізації;

ε – точність багатовимірної оптимізації.

1. Обчислити значення похідних у точці : .[pic 5][pic 6]

Знайти серед них максимальне по модулю. Нехай воно відповідає змінній хі, тобто  

[pic 7]

Змінна хі визначає той самий осьовий напрямок, вздовж якого функція f() змінюється найбільше. Якщо знак похідної  додатній, то функція f() збільшується в обчисленому осьовому напрямку; якщо , то в протилежному напряму.[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

1. Для знайденого в п. 2 осьового напряму визначити інтервал одновимірного пошуку оптимуму ( в нашому випадку max). Якщо , то ,  то , .[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]
2. У знайденому інтервалі методом одновимірного пошуку (сканування, «Золотого перетину» та ін.) визначити максимальне значення цільової функції f() (частковий максимум) з точністю δ. Нехай воно досягається в точці з координатами .[pic 17][pic 18]
3. Перевірити умову закінчення обчислень: якщо [pic 19] тобто

[pic 20]  то обчислення припинити, якщо ця умова не виконується, то перейти до п. 2, в якому обчислити в останній точці частинні похідні по всім змінним, окрім хі, що визначала напрямок пошуку часткового оптимуму.[pic 21]

Метод градієнта. Алгоритм цього методу:

1. Задати:

n –розмірність задачі;

 - початкову точку;[pic 22]

ε – точність оптимізації;

h(0) – величина інтервалу, в якому відбувається одномірний пошук.

1. Покласти k =1 (k – номер кроку оптимізації).
2. Обчислити   i , тобто значення частинник похідних по всіх змінних в точці : .[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]
3. Зробити крок в напрямку градієнта. Координати нової точки  розрахувати за формулою:

[pic 27]

В цій формулі використовується нормалізований вектор градієнта, який вказує лише напрямок найшвидшої зміни цільової функції, але не вказує швидкість її зміни в цьому напрямку. Часто користуються формулою: [pic 28]При сталому значенні параметра  h(k) = h величина [pic 29] змінюється у відповідності із зміною абсолютної величини градієнта.