Программа численного моделирования процесса распространения электромагнитной волны

Разработать программу численного моделирования процесса распространения электромагнитной волны в плоском однородном слое толщиной l, длиной L, предполагая, что ширина его бесконечна ly = ∝.

[pic 1]

В нашем случае напряженность электрического поля  и магнитного поля . Запишем краевую задачу для напряженности , предполагая, что в начальный момент времени t=0 при ,   среда находилась в невозмущенном состоянии, а грань слоя x=0, x=l, z=L выполнены из электропроводящего материала. На грань z=0 при подается возмущающая электромагнитная волна с напряженностью[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

[pic 8]

Где c – скорость распространения волны в среде, λ – длина возмущенной волны, .[pic 9]

Спектр оператора Лапласа в классе 2π-периодических функций состоит из чисел, которые равны квадратам длин целочисленных векторов k. Собственные функции при , образуют ортонормированный базис в пространстве  вектор-функций, интегрируемых с квадратом модуля в кубе Q. [pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

Любая вектор-функция  разлагается в ряд Фурье[pic 14]

[pic 15]

сходящийся в среднем квадратичном.

Таким образом ряд Фурье в ортогональной системе выглядит следующим образом:

[pic 16]

Где  – коэффициенты Фурье.[pic 17]

Электрическое поле гармонически зависит от времени t и удовлетворяет уравнениям Максвелла

[pic 18]

где E(x,y,z) и H(x,y,z) – комплексные амплитуды

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается следующим законом:

[pic 19]

где f∈C[0,h] – произвольная функция (некоторые возможные ограничения на функцию f будут указаны далее); ε2 > max (ε1,ε3) – положительные константы. Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.

где ε=ε1, μ= μ1, в U+ и ε=ε2, μ= μ2, в U- краевым условиям

[pic 20]

для касательных к поверхности идеального проводника.

Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны [pic 21]

Предполагая, что компоненты поля гармонически зависят от z,  из (*) получаем систему уравнений[pic 22]

[pic 23]

где γ – неизвестный спектральный параметр – постоянная распространения электромагнитной волны.

После простейших преобразований из системы получаем

[pic 24]

Введем обозначения k2=ω2με0, μ=μ0, и выполним нормировку в соответствии с формулами  [pic 25][pic 26]

Компоненты полей f=Н1, Н2, Н3, Е1, Е1, Е3 удовлетворяют однородному уравнению Гельмгольца с параметром :[pic 27]