Моделирование процесса теплопроводности в стержне
Автор: adm.foxtrot • Апрель 18, 2019 • Лабораторная работа • 6,755 Слов (28 Страниц) • 470 Просмотры
Лабораторная работа № 3
"Моделирование процесса теплопроводности в стержне"
Элементы теории.
Рассмотрим уравнение теплопроводности, описывающее процесс распространения тепла в одномерном стержне 0 < x < l, с изолированной боковой поверхностью. Математическая модель представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка параболического типа:
[pic 1], (1)
где u = u(x, t) – температура в точке х стержня в момент t, с – теплоемкость единицы массы, ρ - плотность, с - теплоемкость единицы длины, k - коэффициент теплопроводности, f0 – плотность тепловых источников. Если k, c, ρ постоянны, то (1) можно записать в виде
[pic 2], (2)
где [pic 3] - коэффициент температуропроводности.
Будем рассматривать краевую задачу (иногда говорят начально-краевую задачу) в области [pic 4] со смешанными краевыми условиями:
[pic 5] (3)
В области [pic 6] введем сетку
[pic 7]
с шагами h по х и τ по t. Пусть [pic 8] - сеточная функция, принимаемая в качестве приближения искомой функции u(x, t). Аппроксимируем производную по пространственной переменной разностным выражением на временном слое [pic 9]:
[pic 10] ~[pic 11].
Можно аппроксимировать производную по пространственной переменной разностным выражением на временном слое [pic 12]:
[pic 13] ~[pic 14].
Рассматриваются аппроксимации, представляющие собой линейные комбинации значений при [pic 15] и [pic 16]:
[pic 17]~[pic 18].
Производную по t заменим разностным отношением:
[pic 19]~[pic 20].
Обозначим [pic 21] - некоторую правую часть, например [pic 22]. Тогда при σ = 0,5 дифференциальное уравнение в задаче (3) аппроксимируется следующим разностным выражением:
[pic 23] (4)
В качестве начальных условий задаем:
[pic 24]. (5)
Для краевых условий
[pic 25]
в для концевых точках x0 = 0, xn = l используем односторонние аппроксимации первых производных с первым порядком:
[pic 26]. (6)
Тогда после алгебраических преобразований разностная схема для задачи (4)-(6) примет вид:
[pic 27] (7)
где [pic 28] (8)
[pic 29], (9)
[pic 30]. (10)
Рассмотренный алгоритм называется разностной схемой Кранка-Николсона.
Система (7)-(10) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей размера (N-1)× (N-1):
[pic 31]
Для решения краевой задачи (7)-(10) можно использовать вариант метода исключения, называемый методом прогонки. Предполагается, что имеет место соотношение:
[pic 32] (11)
Для определения неизвестных коэффициентов αi+1 и βi+1 соотношение (11) подставляется в систему (7)-(10) и из сравнения сомножителей при одинаковых значениях функции yi получают необходимые выражения.
Алгоритм метода состоит из двух шагов:
а) в прямой прогонке вычисляются значения коэффициентов αi+1 и βi+1 :
[pic 33] (12)
...