Кинематика материальной точки

Вариант 0

Задача №1. Кинематика материальной точки.

        Материальная точка движется по окружности радиуса R. Задан закон изменения пути с течением времени S = f(t) или закон изменения угла поворота радиуса движущейся материальной точки с течением времени φ = φ(t).

        На основании заданного закона изменения пути с течением времени найти закон изменения угла поворота радиуса движущейся материальной точки с течением времени или наоборот. Найти неизвестные величины для момента времени t1.

        Решение.

[pic 13]

        1) Определим закон изменения пути движущейся материальной точки с течением времени [pic 14], используя формулу:

[pic 15];

[pic 16] (м).

        2) По определению мгновенная путевая скорость равна производной от закона движения:

[pic 17].

        Тогда:

[pic 18].

        По определению тангенциальное ускорение равно производной от закона скорости по времени:

[pic 19].

        Тогда:

[pic 20].

        Для момента времени [pic 21] тангенциальное ускорение [pic 22] м/с2. Отсюда:

[pic 23];

[pic 24];

[pic 25] с.

        3) Найдём скорость точки в момент времени [pic 26] с:

[pic 27] (м/с).

        4) Нормальное ускорение найдём по формуле:

[pic 28];

[pic 29] (м/с2).

        5) Модуль полного ускорения можно найти по теореме Пифагора:

[pic 30];

[pic 31] (м/с2).

        6) Определим угол между ускорением и скоростью согласно построению:

[pic 32];

[pic 33].

        7) Определим угловую скорость точки в момент времени [pic 34] с двумя способами.

        Первый способ.

        Воспользуемся определением мгновенной угловой скорости. Тогда:

[pic 35];

[pic 36];

[pic 37] (рад/с).

        Второй способ.

        Воспользуемся формулой взаимосвязи линейной и угловой скорости:

[pic 38];

[pic 39] (рад/с).

        8) Определим угловое ускорение материальной точки в момент времени [pic 40] с двумя способами.

        Первый способ.

        Воспользуемся определением мгновенного углового ускорения:

[pic 41];

[pic 42];

[pic 43] (рад/с2).

        Второй способ.

        Воспользуемся формулой взаимосвязи мгновенного углового ускорения и тангенциального ускорения:

[pic 44];

[pic 45] (рад/с2).

        9) Определим криволинейную координату в момент времени [pic 46] с:

[pic 47];

[pic 48] (м).

        Ответ: [pic 49] с; [pic 50] м/с; [pic 51] м/с2; [pic 52] м/с2; [pic 53]; [pic 54] (м); [pic 55] рад/с; [pic 56] рад/с2; [pic 57] м.

Задача 2. Динамика материальной точки

На материальную точку массой  m действует сила тяги F, направленная под углом α rк оси x. Тело начинает скользить  по горизонтальной поверхности, и за время t оно проходит путь s= 1м. Найти неизвестные величины.