Переходные процессы в линейных электрических цепях

Задание 5: Переходные процессы в линейных электрических цепях

Задача 5.1 Классический метод анализа переходных процессов

Рис. 1 Схема цепи для расчета переходных процессов

Таблица 1. Параметры цепи

R1, Ом R2, Ом L1, Гн L2, Гн U, B

40 170 0.1 0.25 70

В цепи (Рис.1) с параметрами (Табл.1) и источником постоянной ЭДС E U требуется:

1. Для аналитического расчета переходного процесса:

1.1. Составить систему дифференциальных уравнений (СЛДУ) в нормальной форме Коши, описывающих процессы в послекоммутационной схеме, относительно переменных состояния цепи.

Рис. 2

Составим систему дифференциальных уравнений для цепи (Рис. 2) после коммутации по законам Кирхгофа. Учтем при этом, что напряжения и токи на индуктивных элементах цепи связаны соотношениями:

Приводим полученную систему дифференциальных уравнений к нормальной форме Коши.

Нормальная форма Коши в матричной форме:

1.2. Рассчитать переменные состояния, т.е. решить аналитически полученную систему уравнений динамики цепи.

Решаем систему дифуравнений аналитически.

1.2.1. Определяем принужденные составляющие. Так как в установившемся режиме напряжение на индуктивности равно нулю, то при t =∞:

и система дифуравнений (1) сводится к системе:

Отсюда получаем принужденные составляющие:

1.2.2. Определяем корни характеристического уравнения, приравняв нулю определитель характеристической матрицы:

Найдем значение корней характеристического уравнения:

Постоянные времени:

Практическое время переходного процесса составляет:

Так как корни характеристического уравнения корни действительны и различны, то токи в свободном режиме изменяются по закону:

1.2.3. Искомые токи и напряжения равны сумме принужденных и свободных составляющих:

(2)

1.2.4. Согласно законам коммутации, токи индуктивности в момент коммутации не меняются, поэтому начальные условия переходного процесса.

Heзависимые начальные условия t<0 в цепи постоянного тока индуктивность эквивалентна короткозамкнутой перемычке.

(3)

по законам коммутации:

Подставляем эти значения в систему дифуравнений (1), тогда сразу после коммутации

(4)

продифференцировав выражение (2) по времени, получим:

Собрав попарно уравнения для соответствующих токов и их производных и подставив в эти уравнения t = 0, найдем уравнение относительно постоянных интегрирования:

Запишем выражение для токов i1(t) и i2(t) как функции времени в окончательном виде:

1.3. Найти мгновенные значения остальных переменных цепи (токи и напряжения элементов, потокосцепления катушек, заряды конденсаторов), выразив их через переменные состояния (без производных и интегралов).

2. Записать СЛДУ цепи для численного интегрирование методом Эйлера. Выполнить процедуру на протяжении 10 – 15 шагов и полученные значения величин записать в соответствующую таблицу. Рекомендуется использовать ПК.

Начальные условия: