Методи розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Автор: Dmytro Klymchuk • Ноябрь 28, 2023 • Лабораторная работа • 670 Слов (3 Страниц) • 134 Просмотры
Міністерство освіти і науки України
Тернопільський національний технічний університет
імені Івана Пулюя
Кафедра комп’ютерних систем і мереж
Звіт
про виконання лабараторної роботи №1
з дисципліни “Алгоритми та методи обчислень”
на тему: “Методи розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь”
Виконав
Студент групи СІс-21
Климчук Дмитро Андрійович
Прийняла
Тиш Євгенія Володимирівна
Тернопіль 2022
Лабораторна робота № 1
Методи розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Мета роботи: ознайомитися з алгоритмами та методами розв’язання систем лінійних рівнянь та навчитись реалізовувати їх для конкретних задач.
Варіант 4
Хід роботи
Метод Гаусса
Загальний вигляд матриці:
[pic 1]
Ділимо перший рядок на 2.78, щоб у першому індексі з’явилась одиниця.
[pic 2]
Отримуємо наступну матрицю:
[pic 3]
До другого рядку додаємо перший рядок, помножений на четвертий індекс(перший стовбець другий рядок – число -0.78). До третього рядка додаємо перший рядок, помножений на сьомий індекс(-0.45). У перших індексах кожного, окрім першого, рядка мають бути нулі.
[pic 4]
Результати в матриці нижче:
[pic 5]
Ділимо другий рядок на п’ятий індекс():[pic 6]
[pic 7]
Матриця буде мати такий вигляд:
[pic 8]
Від першого рядка віднімаємо другий рядок, помножений на другий індекс(. Від третього рядка віднімаємо другий рядок, помножений на восьмий індекс(). [pic 9][pic 10]
[pic 11]
Матриця буде наступного вигляду:
[pic 12]
Третій рядок ділимо на дев’ятий елемент([pic 13]
[pic 14]
Результат буде наступним:
[pic 15]
До першого рядка додаємо третій рядок, помножений на третій індекс
(. А до другого рядка додаємо третій рядок, помножений на шостий індекс(.[pic 16][pic 17]
[pic 18]
Результат буде наступним:
[pic 19]
Кінцевий результат розв’язку системи рівнянь методом Гаусса:
[pic 20]
Метод Крамера
Загальний вигляд матриці:
[pic 21]
∆ = 2.78 · 3.14 · 2.48 + 0.38 · (-0.81) · (-0.45) + (-0.43) · (-0.78) · 0.86 - (-0.43) · 3.14 · (-0.45) - 2.78 · (-0.81) · 0.86 - 0.38 · (-0.78) · 2.48 = 21.648416 + 0.13851 + 0.288444 - 0.60759 + 1.936548 + 0.735072 = [pic 22]
Замінюємо перший стовпець відповідними вільними членами.
= 3.261·3.14·2.48 + 0.38·(-0.81) · 6.072 + (0.43) · 3.295 · 0.86 - (-0.43) · 3.14 · 6.072 - 3.261· (-0.81) · 0.86 - 0.38 · 3.295 · 2.48 = 25.3940592 - 1.8689616 - 1.218491 + 8.1984144 + 2.2716126 - 3.105208 = [pic 23][pic 24]
Аналогічно замінюємо другий стовпець вільними членами.
= 2.78 · 3.295 · 2.48 + 3.261 · (-0.81) · (-0.45) + (-0.43) · (-0.78) · 6.072 - (-0.43) · 3.295 · (-0.45) - 2.78 · (-0.81) · 6.072 - 3.261 · (0.78) · 2.48 = 22.717048 + 1.1886345 + 2.0365488 - 0.6375825 + 13.6729296 + 6.3080784 = [pic 25][pic 26]
Також заповнюємо третій стовпець.
= 2.78 · 3.14 · 6.072 + 0.38 · 3.295 · (0.45) + 3.261 · (-0.78) · 0.86 - 3.261 · 3.14 · (-0.45) - 2.78 · 3.295 · 0.86 - 0.38 · (0.78) · 6.072 = 53.0037024 - 0.563445 - 2.1874788 + 4.607793 - 7.877686 + 1.7997408 = [pic 27][pic 28]
Результат:
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
Метод простих ітерацій
Систему можливо вирішити методом послідовних наближень. Нехай = β, тоді:[pic 32]
= b - a[pic 33][pic 34]
=b - a[pic 35][pic 36]
....
= b - a[pic 37][pic 38]
Приведемо до вигляду:
= 1.173 - (0.14 - 0.15)[pic 39][pic 40][pic 41]
= 1.049 - (-0.25 - 0.26)[pic 42][pic 43][pic 44]
= 2.448 - (-0.18 + 0.35)[pic 45][pic 46][pic 47]
Обчислення закінчується по критерію:
, де[pic 48]
[pic 49]
a = 0.181 + 0.347 = 0.5282
[pic 50]
Обчислення на прикладі декількох ітерацій.
...