Решение систем линейных алгебраических уравнений с использованием языка высокого уровня C#

Решение систем линейных алгебраических уравнений с использованием языка высокого уровня C#

Многие задачи практики сводятся к необходимости решения системы линейных уравнений. При конструировании инженерных сооружений, обработке результатов измерений, решении задач планирования производственного процесса и ряда других задач техники, экономики, научного эксперимента приходится решать системы линейных уравнений [1].

Методы решения систем уравнений: [pic 1]

(1)

делятся на точные (прямые) и приближенные (итерационные). Прямые методы позволяют в предположении отсутствия ошибок округления получить точное решение задачи за конечное число арифметических действий. Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений [5].

Метод Гаусса  является одним из наиболее распространенных прямых методов решения систем линейных алгебраических уравнений. В основе метода Гаусса лежит идея последовательного исключения неизвестных.

Метод Гаусса включает в себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный - методом Гаусса-Жордана, который отличается от первого только последовательностью исключения переменных [4].

[pic 2]

Рис. 1. -Решение системы линейных уравнений методом Гаусса с помощью программы Excel.

Метод обратной матрицы — это способ решения системы линейных уравнений, записанной в матричном виде Ax=b (A — квадратная матрица коэффициентов, x — вектор неизвестных, а b — вектор свободных членов системы), заключающийся в вычислении x=A−1b, где A−1 — обратная матрица (к матрице A) [4].

[pic 3]

Рис. 2. -Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы с помощью программы Excel

Итерационные методы обычно применяются для решения систем большой размерности и они требуют приведения исходной системы к специальному виду. Суть итерационных методов заключается в том, что решение х системы  находится как предел последовательности lim x(n) n→∞. Так как за конечное число итераций предел не может быть достигнут, то задаётся малое число ε − точность, и последовательные приближения вычисляют до тех пор, пока не будет выполнено неравенство – xn-xn-1< ε, где n=n(ε) – функция ε, ||x|| − норма вектора.

Определения основных норм в пространстве векторов и матриц. Для вектора     x=( x1,x2,…,xn)T нормы вычисляются по следующим формулам:
[pic 4]

[pic 5]

Рис. 3. Решение системы линейных уравнений методом простых итераций (метод Якоби) с помощью программы Excel

Прямые методы рассчитаны для решения систем, порядок которых не больше 100, иначе для практических вычислений используются итерационные методы [1].

[pic 6]

Рис. 4. Решение системы линейных уравнений методом Зейделя с помощью программы Excel

Здесь  d1, d2, d3- модули разности двух последовательных приближений для x1, x2, x3 соответственно. Max d-максимально значение d1, d2, d3. На 15 шаге значение max d меньше чем требуемая точность. Значения x1, x2, x3 являются ответом.