Решение нелинейных уравнений

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет математики и информационных технологий

Кафедра программного обеспечения вычислительной техники и автоматизированных систем

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Программная инженерия задач вычислительной математике»

Вариант №6

Пояснительная записка

ОГУ 09.03.04. 3019. 562. ПЗ

                Руководитель

                « ___ »________________ 2020 г.

               Студент группы з-17Пинж(ба)РПиС

                ________________

               « ___ »________________2020 г.

Оренбург 2020[pic 1]

[pic 2]Задание

Решение нелинейных уравнений

Разработать ПС и решить уравнение методами половинного деления (бисекций), хорд, касательных (метод Ньютона) с точностью до 0,001. Интервалы выбрать самостоятельно.   х3-3х-2е-х=0

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Разработать ПС и решить СЛАУ методами Гаусса, итераций (метод последовательных приближений), Зейделя. Для методов итераций и Зейделя решить с точностью 0,001.

[pic 3]

Решение системы нелинейных уравнений

Разработать ПС и решить СНУ методами простой итерации и Ньютона с точностью 0,001.

[pic 4]

Интерполирование функций (приближение функций)

1. Интерполируемая функция задана таблицей

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа, найти значение функции в точке 3,5.

2. Построить интерполяционный многочлен Ньютона по первой таблице.

Численное интегрирование. Численное дифференцирование

1. Вычислить интеграл методом трапеций  при n=7[pic 5]

2. Вычислить интеграл по формуле Симпсона     при n=7[pic 6]

3. Функция y=f(x) задана табл.

Методом численного дифференцирования найти две производные этой функции в точке х=3.

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

Разработать ПС и решить дифференциальное уравнение методами: [pic 7][pic 8]

Эйлера, Рунге-Кутта:

y'=x+y/2 y(0)=1 h=0,1 на отрезке [0,1] 

Аннотация

В разработанных программных средствах реализованы проекты на основе Windows приложений в Visual Studio. В работе дается краткое теоретическое  описание каждого метода, решения задачи, результаты работы.

Описывается процесс работы программ.

Программные средства обладают удобным, интуитивно понятным пользовательским интерфейсом.

Работа содержит 24 рисунка, 47 листов, 7 таблиц..

Содержание

Задание        3

Аннотация        4

Введение        6

Решение не линейных уравнений        8

Решение системы линейных алгебраических уравнений        11

Решение системы нелинейных уравнений        15

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений        17

Интерполирование функции        20

Численное интегрирование        24

Численное дифференцирование        26

Заключение        28

Список использованных источников        29

Приложение 1. Листинг кода        30

Приложение 2. Экранные формы        46

Введение

Раздел математики, который изучает разные проблемы получения числовых результатов решения математических задач, называют вычислительной математикой. Вычислительная математика превратилась в самостоятельную ветвь относительно недавно: примерно в середине двадцатого века. Это было связано с появлением собственных внутренних задач. Вычислительная математика имеет столь же древнюю и богатую историю, что и сама математика. Почти все результаты математики, которые носили формульный вид, ложились в копилку вычислительной математики. Наверное, следует признать, что разделение математики на «чистую», прикладную, вычислительную соответствует скорее узкой специализации математиков, а не задачам, которые математика призвана решать. С появлением ЭВМ начался «золотой век» вычислительной математики. Её приложения в науке и технике расширяются с каждым годом. Методы математики можно условно разделить на четыре группы: качественные, аналитические, методы возмущений и численные. Качественные методы позволяют определить само существование (или несуществование) решения, но не найти его. Примерами могут служить: теорема о корнях алгебраического полинома, теорема Бендиксона о предельных циклах на плоскости и т.п. Аналитические методы дают формулы для решения конкретной задачи. При этом совершенно необязательно в алгоритме решения задачи должно быть конечное число формул, могут быть и бесконечные процессы, предельные переходы, т.е. весь разнообразный набор средств математического анализа (примером может служить метод последовательных приближений для решения задачи Коши дифференциального уравнения). Могут возникнуть задачи, в которых существует аналитический метод, но он является практически неприменимым при росте размерности задачи. Так, при решении систем линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера, увеличение размерности определителя системы до n приводит к тому, что количество вычислений будет расти как n!. Методы возмущений занимают промежуточное положение между численными и аналитическими методами, т.е. между методами, дающими приближенное и точное решение. Они могут быть выделены в особое направление, как по тому разнообразному математическому аппарату, так и по тому месту в методах вычислительной математики, которое они занимают. В этих методах обычно рассматривается задача, зависящая от малого параметра, который является возмущением предельной задачи. Решение предельной задачи предполагается известным. Для решения задачи ис- 4 пользуется и информация о малости параметра возмущения и информация о решении предельной задачи. Численные методы – это методы, которые могут быть сведены к арифметическим действиям над числами. Успех численных методов объясняется их сравнительно простой реализацией на ЭВМ. Искусство вычислений состоит фактически не столько в предъявлении числовых результатов в виде таблиц, графиков, сколько в обосновании того, что эти результаты получены с заданной точностью. В процессе проектирования и выполнения научных и инженерных исследований приходится выполнять самые разные вычисления. Некоторые просты и не требуют применения вычислительных машин, другие без ЭВМ невыполнимы. Можно выделить следующие категории расчетов, требующих применения ЭВМ: ‰ вычисления, аналогичные выполняемым вручную, но выполняемые многократно; ‰ вычисления слишком громоздкие, чтобы их можно было выполнить вручную, обеспечив необходимую точность за приемлемое время; ‰ подготовка графического представления данных, подготовка данных для производства и выпуска документации. Характер работы инженера или исследователя определяет многократное повторение решаемых задач, в число которых входят алгебраические и трансцендентные уравнения, задачи на собственные значения, обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных, оптимизация, обработка массивов числовых данных. Математическая формулировка технической задачи не должна рассматриваться как объект, не подлежащий изменению. Задачу следует с помощью эквивалентных преобразований привести к виду, наиболее удобному для решения.