Анықталған интегралдың геометрияда қолданылуы

6 – тәжрибелік сабақ.  Анықталған интегралдың геометрияда қолданылуы. Жазық фигураның ауданын, қисық доғаның ұзындығын, айналу денесінің көлемін есептеу.

Анықталған интегралдарды есептеу.

Негізгі теорема. [pic 1] функциясы  [pic 2] кесіндісінде үзіліссіз және [pic 3] оның осы кесіндідегі  алғашқы функциясы болсын. Онда

[pic 4][pic 5]        (1)

1.     формуласы Ньютон- Лейбниц формуласы деп аталады.

Ньютон-Лейбниц формуласы анықталған интегралды есептеу үшін өте қолайлы құрал. Оны қолдану үшін интеграл астындағы жатқан функцияның бір алғашқы функциясын білу жеткілікті.

1-мысал.   [pic 6].

2-мысал.  [pic 7]

3- мысал. [pic 8]

Анықталған интегралда айнымалыны алмастыру.

Теорема.[pic 9] функциясының [pic 10] кесіндісінде үзіліссіз туындысы бар және  [pic 11] болсын, ал [pic 12] функциясы  [pic 13], [pic 14] түрінде берілген әрбір [pic 15] нүктесінде үзіліссіз болсын. Сонда

[pic 16]          ( 2)

теңдігі әрқашанда орындалады.

1.  формуласы анықталған интеграл үшін айнымалыны алмастыру формуласы деп аталады.

 мысал.[pic 17] интегралын есептеу керек. [pic 18][pic 19]

[pic 20][pic 21].

Мысал. [pic 22] есептеу керек.

Шешуі: [pic 23]

Анықталған интегралды бөліктеп интегралдау.

Теорема.[pic 24] және  [pic 25] функцияларының [pic 26] кесіндісінде үзіліссіз туындылары бар болсын. Онда [pic 27].

Бұл теңдікті қысқаша түрде былай да жазуға болады

[pic 28]      (3)

1.      анықталған интегралды бөліктеп интегралдау формуласы деп аталады.

мысал.      [pic 29]

[pic 30].

Мысал. Есептеу керек  [pic 31]

Шешуі  [pic 32]

Жұп және тақ функцияларды интегралдау. Егер [pic 33]функциясы [pic 34] аралығында интегралданатын болса, онда [pic 35]функциясы

үшін келесі теңдіктер анықталған интегралды есептеуде жиі пайдаланылады:

1. Егер f жұп функция болса (f (-u))= f (u)), онда

[pic 36]

Мысалы [pic 37]

1. Егер f тақ функция болса (f (-u))= -f (u)), онда

[pic 38]

Мысалы [pic 39]

1. Егер f функциясы 2l периодты болса , онда

[pic 40]

Мысалы,

[pic 41]

[pic 42] Қисық сызықты трапецияның ауданын, айналу денесінің көлемін табу. Қисықтың доғасының ұзындығын, күш өрісінің жұмысын табу.

Жазық фигураның ауданын табу. 1) Декарт координаталар системасында жоғарыдан [pic 43]функциясының графигімен, екі жағынан [pic 44] түзулерімен, ал төменнен [pic 45] өсімен шектелген қисық сызықты трапецияның ауданы мына формуламен есептеледі: [pic 46]. Бұл формула анықталған интеграл анықтамасынан шығады. Егер [pic 47] болса, онда қисықсызықты трапецияның ауданы: [pic 48].Сонымен, [pic 49].

Мысал. [pic 50] аралығында [pic 51] функциясының графигімен және [pic 52] өсімен шектелген фигураның ауданын табу керек (1-сурет).

[pic 53]

 Шешуі. [pic 54] кесіндісінде [pic 55] функциясы таңбасын оңнан теріске өзгертеді, яғни [pic 56] кесіндісінде [pic 57], ал [pic 58] кесіндісінде [pic 59]. Ендеше,  

[pic 60][pic 61]

[pic 62] (кв. өлшем) . Ал, егер [pic 63] функциясының таңбасын ескермесек: [pic 64] болар еді.

3) Егер [pic 65] аралығында анықталған [pic 66] функциясы параметрлік теңдеумен берілсе: [pic 67] , онда аудан мына формулалардың бірімен есептеледі: [pic 68];  [pic 69].