Элементы теории множеств

"Элементы теории множеств"

I. Основные понятия и аксиомы теории множеств

Понятие «множество», которое впервые возникло в математике и сегодня является общенаучным. Первый  набросок  теории  множеств  принадлежит  Бернарду  Больцано  («Парадоксы бесконечного»,  1850).  В  этой  работе  рассматриваются  произвольные  (числовые)  множества,  и для их сравнения определено понятие взаимно-однозначного соответствия. В  конце  19  века  Георг  Кантор,  немецкий  математик,  основоположник  теории  множеств,  дал интуитивное  определение  понятию  «множеству»  так:  «Множество  есть  многое,  мыслимое  как единое целое». Такое определение множества потребовало введения  трех символов . Первый из  них  должен  представлять  множество  как  нечто  «единое»,  т.е.  являться представителем  самого  множества.  В  качестве  такого  символа  принято  применять  любую прописную  букву  какого-либо  алфавита:  например,  обозначать  множества  прописными буквами латинского алфавита А, В, …, Х или какого-либо другого по соглашению. 2 символ должен представлять «многое», то есть рассматриваться как элемент множества. В качестве этого символа принято использовать строчные буквы этого же алфавита: a, b, …, z. 3 символ должен однозначно соотнести элемент множеству. Стоит  отметить,  что  такое  определение  понятия  множества  приводит  к  ряду  внутренних противоречий теории – так называемым парадоксам.

Например, рассмотрим парадокс Рассела. Парикмахер (элемент х), проживающий в некоторой деревне, которые не бреются сами (пусть Х – множество всех тех и только тех жителей данной деревни, которые не бреются сами). Бреет ли парикмахер самого  себя?  То  или [pic 1]?  Ответить  на  вопрос  невозможно,  поскольку  полагая, например, что [pic 2],  сразу приходим к противоречию:[pic 3] , и обратно. В  школьном  курсе  математики  учащимися  рассматривается  понятие  множества,  как неопределяемое  понятие,  под  которым  понимается  совокупность  объектов  окружающей  нас действительности, мыслимую как единое целое. А каждый объект этой совокупности называют элементом данного множества .

На настоящее время существует несколько аксиоматических систем теории множеств: -Система  аксиом  Цермело.  К  этой  системе  аксиом  часто  добавляют  аксиому  выбора,  и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC). -Аксиомы  теории  NBG.  Данная  система  аксиом,  предложенная  фон  Нейманом,  впоследствии пересмотренная и упрощенная Робинсоном, Бернайсом и Геделем. Система  Цермело  (Z-система)  состоит  из  7  аксиом.  Опишем  данные  аксиомы  в  тех  рамках,  в которых они используются в школьном курсе математики. Аксиома  объемности  (Z1).  Если  все  элементы  множества  А  принадлежат  множеству  В,  а  все элементы множества В принадлежат также множеству А, то А=В. Для  пояснения  данной  аксиомы  нам  необходимо  использовать  термин  «подмножество»:  Если каждый  элемент  множества  A  является  элементом  множества  Z,  то  говорят,  что  А  – подмножество  Z,  и  пишут[pic 4] .  Символ   [pic 5]именуется  «включение».  Если  не  исключается возможность  ситуации,  когда  Z=A,  то  для  того  чтобы  акцентировать  на  этом  внимание,  пишут

[pic 6]

Введя  термин  «подмножество»,  сформулируем  аксиому  1  в  символьном  виде: [pic 7] .

Аксиома пары (Z2). Для произвольных a и b существует множество, единственными элементами которого являются {a,b}.

Данная  аксиома  используется  при  пояснении  декартова  произведения  множеств,  где первоначальным  понятием  является  «упорядоченная  пара».  Под  упорядоченной парой   понимают  совокупность  двух  элементов,  каждый  из  которых  занимает  в  записи определенное место. Обозначают упорядоченную пару так: (а,b). Аксиома суммы (Z3).  Для произвольных множеств А и В существует единственное множество С, элементами  которого  являются  все  элементы  множества  А  и  все  элементы  множества  В  и которое никаких других элементов больше не содержит. Аксиома  степени  (Z4).  Для  любого  множества  Х  существует  множество  всех  его  подмножеств Р(Х).