Теория множеств

Задание 2

Теория множеств

Теория множеств как математическая дисциплина создана Георгом Кантором.

 «Множество — это большое количество, которое позволяет воспринимать себя как одно» — Георг Кантор 

Множество – это совокупность объектов (элементов), которые понимаются как единое целое (по тем или иным признакам, критериям или обстоятельствам). Причём, это не только материальные объекты, но и буквы, цифры, теоремы, мысли, эмоции и т. д.

Множества принято обозначать прописными латинскими буквами: A, B, C, D, …, Z, а элементы множества – малыми: a, b, c, d, …, x, y, z.

Существуют два способа задания множества:

 1. —перечисление всех элементов. [pic 1]

 2.— указание характеристического свойства (свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит) [pic 2]

Виды множеств

• Числовые множества - множества, элементами которых являются числа.

Для ряда числовых множеств в математике приняты стандартные

обозначения:

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел;

C – множество комплексных чисел.

• Конечные множества - множества, состоящие из конечного числа элементов. Все элементы этих множеств можно перебрать (пересчитать). Конечные множества, содержащие n элементов, называются n-элементными множествами
• Бесконечные множества – множества, которые нельзя полностью перебрать, нельзя сказать, сколько элементов в этих множествах. Например:

множества натуральных, целых, четных, нечетных чисел и многие

другие.

• Счётное множество — бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами.

• Несчётное множество — бесконечное множество, не являющееся счётным.

• Упорядоченные множества – множества, в которых порядок перечисления элементов важен.
• Неупорядоченные множества – множества, в которых порядок перечисления элементов не важен.

• Пустое множество - множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается символом ∅ 
• Универсальное множество - множество, которое включает все рассматриваемые множества. Обозначается U.
• Нечеткое множество - совокупность элементов произвольной природы, относительно которых нельзя точно утверждать – обладают ли эти элементы некоторым характеристическим свойством, которое используется для задания нечеткого множества.
• Чёткое множество – совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое. Универсальное множество – это четкое множество
• Подмножество

Подмножества

Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. (𝐴 является подмножеством 𝐵, если Обозначение: B ⊂ A[pic 3]

Заметим, что отношение "быть подмножеством" обладает следующими свойствами:

1. 𝐴  ⊂ 𝐴

2. 𝐴 ⊂ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊂ 𝐴 ⇒ 𝐴 = 𝐵 

3. 𝐴 ⊂ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊂ 𝐶 ⇒ 𝐴 ⊂ 𝐶 

Ничего не запрещает множеству не содержать в себе элементов. Такое множество называется пустым множеством и обозначается ∅