Бинарные отношения. Количественная теория множества целых неотрицательных чисел

Задания к практическим занятиям и примеры решения задач

Бинарные отношения. Количественная теория множества целых неотрицательных чисел

Практические задания для самостоятельной работы

1. Соответствие между множествами С={1, 2, 3, 4,5} и D={5, 6, 7} таково, что его график состоит из пар, в которых первая компонента взята из множества С, а вторая - из D и больше первой компоненты. Постройте граф этого соответствия, график этого соответствия в прямоугольной системе координат. Постройте граф противоположного соответствия, график противоположного соответствия в прямоугольной системе координат.

Решение :

А)граф соответствия

[pic 1]

Б) график соответствия

Каждая пара чисел, принадлежащая графику данного соответствия на графе соединена стрелкой. Поэтому график состоит из пар: {<1, 5>, <1, 6>, <1, 7>,<2, 5>,<2, 6>, <2, 7>, <3, 5>, <3, 6>,<3, 7>,<4, 5>,<4, 6>, <4, 7>, <5, 6>, <5, 7>}.

Каждую пару чисел. Принадлежащую графику соответствия R, изобразим точкой в прямоугольной системе координат. Множество точек на рисунке2и есть график соответствия R.

[pic 2]

В) Так как граф соответствия R-1 получается из графа соответствия R изменением направления всех стрелок, то график соответствия R-1 можно получить из графика соответствия R, поменяв в каждой паре местами абсциссу и ординату: R-1={<5, 1>, <6, 1>, <7, 1>,<5, 2>,<6, 2>, <7, 2>, <5,3>, <6, 3> <7, 3>,<5, 4>,<6, 4>, <7, 4>, <6,5>, <7, 5>}.  В прямоугольной системе координат график соответствия R-1 имеет вид (см. рис. 3).

[pic 3]

Д) граф противоположного соответствия

[pic 4]

Взаимно однозначные соответствия

1. Задайте при помощи графа три соответствия между множествами Х={a, b, c} и Y={2, 4, 6} так, чтобы одно из них было взаимно однозначным.

Решение:

А)    [pic 5]

Б) [pic 6]

Тема 5. Бинарные отношения на множестве

Понятие отношения на множестве. Свойства отношений

Практические задания для самостоятельной работы

1. Выясните какие из следующих отношений обладают свойством  рефлексивности, антирефлексивности, не обладает ни тем ни другим свойством .

R – быть ровесниками на множестве людей;

Q – быть длиннее на множестве отрезков плоскости;

T – быть кратным на Х={0, 1, 2, 3, 4}.

Решение:

R – быть ровесниками на множестве людей

Отношение R обладает свойством  рефлексивности, так как любой элемент натурального множества находится в заданном отношении с самим собой, то есть является ровесником самого себя.

Q – быть длиннее на множестве отрезков плоскости

Отношение Q обладает свойством  антирефлексивности, так как ни один отрезков из множества отрезков не находится в заданном отношении с самим собой, то есть ни один  отрезок не может быть  длиннее самого себя.  

T – быть кратным на Х={0, 1, 2, 3, 4}.

Отношение Т не обладает ни свойством  рефлексивности, ни свойством  антирефлексивности, так как для одних элементов, например,  1данное отношение выполняется – она  кратна любому элементу из Х, а для других нет – на 0 делить нельзя.

1. Выясните какие из следующих отношений обладают свойством  симметричности, антисимметричности, не обладает ни тем, ни другим свойством .

R – быть меньше на множестве натуральных чисел;

Q –быть одноклассницей на множестве учащихся класса;

T – быть соседями на множестве людей.

Решение:

R – быть меньше на множестве натуральных чисел;

Отношение R обладает свойством антисимметричности, так как для любых х, у [pic 7][pic 8] N выполняется условие: xRyи х[pic 9][pic 10]у ⇒[pic 11].

Q –быть одноклассницей на множестве учащихся класса.

Отношение Q не обладает ни свойством  симметричности, ни свойством  антисимметричности, так как одни элементы находятся в заданном отношении (если  Иванова одноклассница Петровой, то  Петрова одноклассница Ивановой), а другие нет ( Иванов и Сидорова).