Численные методы

Задача 1.Вычислить, функцию F(X), ее производную для одиннадцати значений X в интервале Х[pic 1][а,b] (а=1, b=3), а также интеграл данной функции а заданных пределах. Расчеты произвести вручную и составить протокол решения задачи в пакете Mathcad. Результаты расчета функции и ее производной свести в таблицу. Построить графики F(X) и F'(X).

Решение

Вычислить значения функции [pic 2], ее производной для всех значений [pic 3]с шагом [pic 4] и интеграл [pic 5].[pic 6]

Производная численным методом вычисляется по формуле [pic 7], где [pic 8] - приращение аргумента. Примем [pic 9]. Рассмотрим пример вычисления функции и ее производной для точки [pic 10].

[pic 11]

Производная по аналитической формуле [pic 12]

[pic 13]

Данные расчетов для всех [pic 14] запишем в таблицу:

1. Интеграл вычислим методом прямоугольников

Формула левых прямоугольников

[pic 19]

[pic 20] [pic 21];

[pic 22]

[pic 23]

Формула правых прямоугольников

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

1. Методом трапеций

[pic 27]

[pic 28]

Вычислим данный интеграл аналитически:

[pic 29]

Метод трапеций дает более точное решение.

Протокол решения задачи в Mathcad.

[pic 30]; [pic 31] Граница интервала изменения X.

[pic 32] [pic 33] шаг изменения Х

[pic 34] Приращение аргумента для вычисления производной функции

[pic 35] Дискретный аргумент, принимающий значения в интервале [pic 36]с равным шагом h

[pic 37] Определение функции

[pic 38] Формула вычисления производной численным методом

[pic 39] Аналитическая формула вычисления производной

[pic 40] Вычисления производной с использованием шаблона оператора

Вывод таблиц результатов

[pic 46] Первообразная функции Y(X)

[pic 47]

[pic 48] Вычисления определенного интеграла аналитически с использованием формулы Лейбница-Ньютона

[pic 49] [pic 50]          Вычисления определенного интеграла с использованием шаблона оператора