Численные методы

               УЧЕБНАЯ ПРАКТИКА:

ПРАКТИКА ПО ПОЛУЧЕНИЮ ПЕРВИЧНЫХ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ

                                        УМЕНИЙ И НАВЫКОВ

Выполнил:

 Студент 1-го курса

Руководитель:

г. Владикавказ

                     2019 г.

ВВЕДЕНИЕ3

1.ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ4

1.1. Метод прямоугольников4

    1.1.1. Метод левых прямоугольников5

   1.1.2. Метод правых прямоугольников 6

   1.1.3. Метод средних прямоугольников7

     1.2. Метод трапеций8

1.3. Метод Симпсона9

Индивидуальный вариант № 1514

Текст программы14

Результат работы программы17

2.ЧИСЛЕННЫЕМЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ18

1.1. Метод половинного деления (метод дихотомии)19

1.2. Метод Ньютона (метод касательных)21

1.3. Метод последовательных приближений (методпростых итерации)23

Индивидуальный вариант № 1524

Текст программы24

Результат работы программы26

ЗАКЛЮЧЕНИЕ27

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ28

Введение

Численные методы являются отдельной областью математики и применяются в прикладных направлениях. В этой работе рассматриваются численные методы интегрирования и решения нелинейных уравнений. Наиболее используемыми методами численного интегрирования являются метод левых, правых, средних прямоугольников, метод трапеции и метод Симпсона, они и будут рассмотрены ниже. Для решения нелинейных уравнений будет использован метод дихотомии, метод Ньютона и метод последовательных приближений.

Численное интегрирование

Вычисление некоторых интегралов по формуле Ньютона-Лейбница не всегда возможно т.к. многие подынтегральные функции не имеют первообразных в виде элементарных функций. В таких случаях мы можем воспользоваться численными методами нахождения определённого интеграла.

Метод прямоугольников

Пусть функция y = f(x) ∈ C [a;b]. Нам требуется вычислить определенный интеграл.

Обратимся к понятию определенного интеграла. Разобьем отрезок [a,b] на n произвольных частей точками На каждом из частичных интервалов [], выберем точку . Составим произведение:[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

                                                                                                                 1)[pic 5]

               где  – длина частичного полуинтервала.[pic 6]

               Составим сумму всех таких произведений:    

                                                                      2)[pic 7]

               Формула (2) соответствует так называемой интегральной сумме.

Теорема.

Если функция y = f(x) ∈ C[a;b], то предел интегральных сумм (2) существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка интегрирования на частичные интервалы, ни от выбора точек .[pic 8]

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] называется предел интегральных сумм (3) при диаметре разбиения max(∆𝑥𝑖)→0, не зависящий ни от способа разбиения отрезка интегрирования на частичные интервалы, ни от выбора точек ξ𝑖.

Суть метода прямоугольников заключается в том, что в качестве приближенного значения определенного интеграла берут интегральную сумму.

Метод левых прямоугольников

Если отрезок интегрирования [a;b] разбить на равные части длины h точками  и в качестве точек  выбрать левые границы элементарных отрезков [], то мы получим приближенное равенство:[pic 9][pic 10][pic 11]