Численное дифференцирование и интегрирование

Национальный исследовательский университет ИТМО

Факультет информационных технологий и программирования

Лабораторная работа 1

 Численное дифференцирование и интегрирование

Выполнил:

Преподаватель:

Санкт-Петербург

2023

Численное дифференцирование.

Для изучения численного дифференцирования будут использоваться три метода, а именно:

1. Правая разностная производная

[pic 1]

2. Левая разностная производная

[pic 2]

3. Центральная разностная производная

[pic 3]

При этом в крайних точках значение производной определяется следующим образом:

[pic 4]

Первые два метода имеют первый порядок точности, третий – второй порядок точности.

Мы будем рассматривать действие этих методов на примере функций на промежутке [0;1]:

1. [pic 5]

[pic 6]

Похожие функции были взяты для того, чтобы посмотреть, как ведут себя методы, при постепенно убывающей и возрастающей производной

Построим графики производных, рассчитанные при помощи каждого из 3 методов (для 10 точек), а также график производной, посчитанной аналитически.

[pic 7]

Как мы видим, центральная разностная производная довольно точно повторяет шаблонную линию (хотя если мы приблизим график, то увидим, что они не совпадают), в то время как левая и правая проходят выше и ниже, причем примерно на одинаковую величину.

[pic 8]

Для второй функции графики производных примут вид:

[pic 9]

Ситуация схожа с первой, однако заметим, что в первом случае выше всех шла правая производная, а во втором случае левая. Это можно связать с тем, что в первом случае производная монотонно возрастает, и поэтому, когда мы берем разность текущей точки и правой от нее, то получаем большее значение, нежели, когда берем разность текущей и левой. Для второй ситуации картина обратная, именно поэтому графики поменялись местами.

Центральная производная данного недостатка лишена, и наиболее приближена к аналитической производной. Однако она также может быть неточной, если выбрать недостаточное количество точек для построения графика

(тот же график, но для 5 точек)

[pic 10]

Теперь построим графики среднеквадратического отклонения тех же функций от истинного значения для 10, 20, 40, 80 и 160 точек.

[pic 11]

[pic 12]

Графики получились похожими.

По этим графикам видно, что чем больше точек, тем меньше среднеквадратическое отклонение для любого из методов, а значит производная определяется точнее. Также видно, что центральная разностная производная имеет значительно большую точность, чем правая и левая.

Численное интегрирование.

При численном интегрировании интеграл разбивается в сумму элементарных интегралов: