Численное интегрирование и дифференцирование
Автор: zheniok19 • Декабрь 26, 2018 • Лабораторная работа • 3,918 Слов (16 Страниц) • 561 Просмотры
Министерство образования Российской Федерации
Липецкий государственный технический университет
Кафедра высшей математики
Отчет по лабораторной работе
по дисциплине «Компьютерные методы прикладной математики»
на тему «Численное интегрирование и дифференцирование»
Выполнил:
Студент группы ВМ-15-1 Разумов И.Р.
Проверил:
Старший преподаватель Шульмин А.С.
Оценка__________ Дата___________
2016
Содержание
1. Методы численного дифференцирования функций 3
1.1. Дискретная функция. Методы односторонней разности 3
1.2. Метод двусторонней разности 4
1.3. Частное дифференцирование функции от многих переменных 5
1.4. Производная высоких порядков 5
2. Методы численного интегрирования 7
2.1. Задача численного интегрирования 7
2.2. Методы Ньютона-Котеса 9
2.2.1. Метод прямоугольников 9
2.2.2. Метод трапеций 10
2.2.3. Метод Симпсона 11
2.2.4. Семейство методов Ньютона-Котеса 12
3. Вывод программы 14
Приложение 1. Код программы - Численное интегрирование и дифференцирование 16
1. Методы численного дифференцирования функций
1.1. Дискретная функция. Методы односторонней разности
Существуют такие функции [pic 1], аналитическое вычисление производных которых представляет собой сложную задачу и более выгодным является численное дифференцирование.
Производная функции определяется выражением:
[pic 2] (1.1)
Заменяя приращение dx на конечную величину Δx, называемую шагом дифференцирования, получаем выражение:
[pic 3] (1.2)
Если дифференцируемая функция задана уравнением (рис.1.1), то для вычисления значения дифференциала необходимо получить значение функции [pic 4] в точке [pic 5] и в точке [pic 6]. После чего можно вычислить значение производной функции [pic 7].
[pic 8]
Рис.1.1.Непрерывная функция
Если функция задана выборкой, т.е. набором значений функции в точках (рис.1.2), то выражение для численного дифференцирования (при условии, что x образуют возрастающую последовательность) можно переписать
в виде:
[pic 9] (1.3)
[pic 10] |
|
Рис.1.2. Дискретная функция
Особенно такой подход актуален в том случае, когда набор данных имеет случайное распределение, для которого неизвестна подходящая функциональная зависимость.
Как видно из этих выражений, значение производной в точке [pic 11], оценивается по значению функции в этой точке и в следующей точке [pic 12]. Такой способ можно условно назвать правосторонней разностью. Нетрудно записать выражение для левосторонней разности:
[pic 13] или[pic 14] (1.4)
...