Сравнение точности методов численного интегрирования

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Уфимский государственный нефтяной технический университет»

Факультет автоматизации производственных процессов

Кафедра вычислительной техники и инженерной кибернетики

СРАВНЕНИЕ ТОЧНОСТИ МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

ЭВМ и периферийные устройства

Вариант 8

Выполнил студент группы БПО-17-01                  _________ Дмитриев В.А.

                                                                                                                                  (Дата, подпись)

Принял канд. тех. наук, доцент  каф. ВТИК       _________ Гиниятуллин В.М.

                                                                                                                                  (Дата, подпись)

Уфа 2019

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ        3

1.        ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ        5

1.1. Численное интегрирование. Задачи численного интегрирования.        5

1.2. Погрешность численного интегрирования        6

1.3. Правило Рунге        7

1.4. Методы численного интегрирования        8

1.4.1. Метод прямоугольников        8

1.4.2.  Метод трапеций        10

1.4.3. Метод Симпсона        11

2.        ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ        12

2.1.Описание курсовой работы        12

2.2. Код программы        14

2.3. Анализ результатов        39

ВЫВОД        56

ВВЕДЕНИЕ

На практике достаточно большое число задач сводится к вычислению значения определенного интеграла некоторой функции, например, для установления площадей или объемов различных фигур и тел, пути, пройденного точкой в условиях неравномерного движения, определения центров тяжести и инерции тел, работы произведенной некоторыми силами и т.д.        

Если функция f(x) непрерывна на интервале  и известна ее первообразная F(x), то определенный интеграл от этой функции в пределах от а до b можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница:[pic 1]

                                        (1)[pic 2]

где F`(x) = f(x)

Аналитическое решение таких задач, как правило, существует только для достаточно ограниченного числа подынтегральных функций f(x), так как найти первообразную F(x) не представляется возможным. В тех же случаях, когда возможно выразить интеграл аналитически, получаемая конечная формула часто бывает настолько сложна для вычислений по формуле Ньютона-Лейбница, что удобнее проинтегрировать функцию численно, получив приближенное значение интеграла. Кроме этого, функция f(x) может задаваться не в виде непрерывной функции, а в виде таблицы ее значений на фиксированном конечном множестве точек. В этом случае понятие первообразной теряет смысл, поэтому для вычисления интеграла применяют численные методы.

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения определенного интеграла с помощью некоторой приближенной формулы через известные значения подынтегральной функции f(x) (иногда через значения ее производных) в заданных точках.

Существует множество методов численного интегрирования: формулы трапеций, Симпсона, Гаусса, Ньютона-Котеса, Монте-Карло и др. В данной работе мы ограничимся рассмотрением двух наиболее простых и широко применяемых алгоритмов: метод Симпсона, метод прямоугольников.

Объект исследования: численные методы интегрирования.

Предмет исследования: средство нахождения численного интеграла методом центральных прямоугольников.

Целью данной работы является написание программ для нахождения значения интеграла двумя способами: с помощью функций на языке Assembler для регистров SSE, на языке С++ для регистров FPU, на языке Swift для ARM устройства, и сравнение их работы. В качестве ARM устройства выбран Apple iPhone 5S, который содержит процессор Apple A7 с набором инструкций ARMv8.