Численное дифференцирование и интегрирование

Национальный исследовательский университет ИТМО

Мегафакультет трансляционных информационных технологий

Факультет информационных технологий и программирования

Численное дифференцирование и интегрирование

Отчет по лабораторной работе № 1

[pic 1]

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    [pic 2]

Санкт-Петербург

2022 г.

1. Задачи

• Реализуйте перечисленные выше методы нахождения производной при фиксированном значении шага.

• Возьмите 2 произвольные функции. Вычислите аналитически производные этих функций. Постройте их графики, а также вычисленные значения численной производной в узлах сетки.

• Найдите среднеквадратичные отклонения численных от истинных значений производной.

• Выполните предыдущий пункт при уменьшении шага (увеличения количества узлов) в 2, 4, 8 и 16. Как изменяется среднеквадратичное отклонение при изменении шага? Постройте график зависимости среднеквадратичного отклонения от величины шага.

• Реализуйте методы численного интегрирования.

• Выберите 2 функции и вычислите для них определенный интеграл на отрезке. Сравните полученное значение с ответом, полученным аналитически.

• Проанализируйте зависимость отклонения численного ответа от аналитического в зависимости от шага при уменьшении его в 2, 4, 8 и 16 раз. Постройте график зависимости отклонения от величины шага.

1. Теория

Пусть задана функция  на отрезке [a, b]. Выберем на этом отрезке шаг сетки[pic 3]

h. В таком случае количество узлов сетки будет

[pic 4]

а сами значения x можно задать как [pic 5]

Для вычисления производной в каждой точке  могут применятся различные методы, которые преимущественно отличаются количеством узлом, задействованных в вычислении, а также их расположением относительно точки, в которой находится производная. Степень, в которой  входит в оценку погрешности вычисления, называется порядком точности метода. К методам первого порядка точности можно отнести:[pic 6][pic 7]

• Правая разностная производная

[pic 8]

• Левая разностная производная

[pic 9]

В целях повышения точности можно задействовать три узла таким образом, что

[pic 10]

а значение производной в крайних точках можно определить следующим образом

[pic 11]

[pic 12]

Данный подход называется центральной разностной производной и имеет второй порядок точности.

Для нахождения приближенного значения определённого интеграла могут использоваться так называемые квадратурные формулы

[pic 13]

где  – некоторые точки из отрезка [a, b].[pic 14]

Введем также сетку узлов на отрезке таким же образом.

[pic 15]

Тогда интегралы I разобьется в сумму элементарных интегралов 

[pic 16]

где каждый  вычисляется на отрезке  Геометрически это будет означать, что вся криволинейная трапеция разбивается на n элементарных криволинейных трапеций. Методы численного интегрирования отличаются способом вычисления площадей этих элементарных криволинейных трапеций.[pic 17][pic 18]

• Формула прямоугольников. Площадь каждой элементарной криволинейной трапеции можно приближать площадью прямоугольников. Причем в зависимости от той точки, которая определяет высоту прямоугольника можно получить либо метод левых прямоугольников

[pic 19]

 либо правых прямоугольников

[pic 20]

 либо средних прямоугольников

[pic 21]

• Формула трапеций. Используя оба конца отрезка элементарной криволинейной трапеции, можно приближать ее площадь как площадь трапеции

[pic 22]

• Формула Симпсона. Также криволинейную трапецию можно приближать параболой, которая проходит соответственно через точки  и . Таким образом [pic 23][pic 24]

[pic 25]

Среднеквадратичное отклонение (СКО):

[pic 26]