Численные методы интегрирования и дифференцирования

Лабораторная работа №6

по предмету «Вычислительная математика»

Численные методы интегрирования и дифференцирования

НОВОСИБИРСК

2023

Задание

Вычислить в указанных точках приближенные значения первой и второй производных функции, заданной таблично, используя:

а) левые и правые разностные отношения (3.4) и (3.5);

б) центральное разностное отношение (3.7);

в) приближенное соотношение (3.8) для второй производной.

Исходные данные, соответствующие варианту

Содержание

1. Теоретическое описание численных методов интегрирования и дифференцирования        5

1.1. Аппроксимация производных        5

1.2. Использование интерполяционных полиномов.        6

1.3. Погрешность численного дифференцирования        9

2. Численное интегрирование        12

2.1 Классификация методов.        12

2.2. Интерполяционные методы Ньютона-Котеса.        15

2.3. Методы прямоугольников.        15

2.4. Метод трапеций.        18

2.5. Метод Симпсона (метод парабол).        19

3. Ход работы        20

3.1. Поиск численного значения производной функции, заданной таблично, через конечно-разностные формулы        20

3.2. Исследование производной аналитически заданной функции через приближенные соотношения        22

3.3. Нахождение определенного интеграла численным методом средних прямоугольников, методом трапеции и методом Сипмсона        24

Заключение        27

Литература        28

Приложение        28

Введение

Научится применять численные методы дифференцирования функций, заданных аналитическим выражением и таблично; исследовать точность различных аппроксимирующих формул, выбирать способы и параметры алгоритмов для достижения результатов требуемого качества.

1. Теоретическое описание численных методов интегрирования и дифференцирования

1.1. Аппроксимация производных

Напомним, что производной функции [pic 12]называется предел отношения приращения функции Δy к соответствующему приращению аргумента Δx при стремлении Δx к нулю:

[pic 13]  ,  [pic 14]  .                  (3.1)

Обычно для вычисления производных используют готовые формулы (таблицу производных) и к выражению (3.1) не прибегают. Однако в численных расчетах на компьютере использование этих формул не всегда удобно и возможно. В частности, функция [pic 15]может быть задана в виде таблицы значений (полученных, например, в результате численного расчета). В таких случаях производную приближенно можно найти опираясь на формулу (3.1). Полагая Δx равным некоторому конечному числу, получают приближенное равенство для вычисления производной