Функции нескольких переменных

Вариант 10. Задача 1.

Найти частные производные ∂z/∂x и ∂z/∂y следующих функций.

а) z=2xy/(x^2+y^2 ) б) z=e^(x-2y), x=sin⁡t, y=cos⁡t

в) (x^2+y^2 )^2-y^2-z^2=a

Решение:

а) z=2xy/(x^2+y^2 )

Частные производные находятся последующим формулам:

Z^' x=∂z/∂x 1_(y=const)^1 Z^' y=∂z/∂y 1_(x=const)^1

Находим ∂z/∂x , считая аргумент y постоянным

∂z/∂x 1_(y=const)^1=(2xy/(x^2+y^2 ))_x^'=(1_((u/v)^'=(u^' v-〖uv〗^')/v^2 )^(Используем правило) )=(〖(2xy)〗_x^'∙(x^2+y^2 )- 〖2xy (x^2+y^2)〗_x^')/〖(x^2+y^2)〗^2 = (2y∙(x^2+y^2 )-2xy∙2x)/〖(x^2+y^2)〗^2 =(2y(x^2+y^2-〖2x〗^2)/〖(x^2+y^2)〗^2 =(2y(x^2-y^2))/〖(x^2+y^2)〗^2

∂z/∂y=(2xy/(x^2+y^2 ))_(y x=const)^'=((2xy)_y^' (x^2+y^2 )-2xy〖(x^2+y^2)〗_y^')/〖(x^2+y^2)〗^2 =(2x(x^2+y^2 )-2xy∙2y)/〖(x^2+y^2)〗^2 =(2x(x^2+y^2-〖2y〗^2))/〖(x^2+y^2)〗^2 =(2x(x^2+y^2))/〖(x^2+y^2)〗^2

б) z=e^(x-2y), x=sin⁡〖t, y=cos⁡t 〗

Решение: Производная сложной функции z=f(x,y) по аргументу t определяется по формуле:

dz/dt=dz/dx∙dx/dt+dz/dy∙dy/dt

Найдем:

dz/dx=〖(e^(x-2y))〗_(x y=const)^'=e^(x-2y)∙〖(x-2y)〗_x^'=e^(x-2y)

dz/dy=〖(e^(x-2y))〗_(y x=const)^'=e^(x-2y)∙〖(x-2y)〗_y^'=e^(x-2y)∙(-2)=〖-2e〗^(x-2y)

dx/dt=〖(sin⁡〖t)〗〗^'=cos⁡t

dy/dt=〖(cos⁡〖t)〗〗^'=〖-sin〗⁡t, получим

dz/dt=e^(x-2y)∙cos⁡t+(2e^(x-2y) )∙(-sin⁡〖t)〗=e^(x-2y)∙(cos⁡〖t+2 sin⁡t 〗 )

в) 〖(x^2+y^2)〗^2-y^2-z^2=a

Решение: Функция задана не явно запишем ее в виде F(x,y,z)=〖(x^2+y^2)〗^2-y^2-z^2-a находим частные производные по формулам:

∂z/∂x=-(F_x^')/(F_z^' ) ∂z/∂y=-(F_y^')/(F_z^' )

F_x^'=∂F/(∂x ) 1_(y,z=const)^1=〖((x^2+y^2 )^2-y^2-z^2-a)〗_x^'=2(x^2+y^2 ) 〖∙(x^2+y^2)〗_x^'=2(x^2+y^2 )∙2x=4x(x^2+y^2)

F_y^'=∂F/(∂y ) 1_(x,z=const)^1=〖((x^2+y^2 )^2-y^2-z^2-a)〗_y^'=2(x^2+y^2 ) 〖∙(x^2+y^2)〗_y^'=2(x^2+y^2