Уравнение прямой в пронстранстве

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ        3

ГЛАВА I. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ        5

1.1. Точка пересечения прямой с плоскостью        5

1.2. Угол между прямой и плоскостью        9

ГЛАВА II. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ        13

2.1.Различные случаи положения прямой в пространстве        13

2.2.Угол между прямой и плоскостью        18

ЗАКЛЮЧЕНИЕ        22

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ        25

ВВЕДЕНИЕ

Всякое уравнение ͺпервой степени относительно   ͺкоординат x y, z         Ax + By + Cz +D = 0 задает ͺплоскость, и наоборот: всякая ͺплоскость может быть ͺпредставлена уравнением, которое ͺназывается уравнением ͺплоскости.

Вектор n (A, B, C ), ͺортогональный плоскости, называется ͺнормальным ͺвектором плоскости. В ͺуравнении коэффициенты A, B, C ͺодновременно не равны 0.

Особые ͺслучаи уравнения:

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость ͺпроходит через начало ͺкоординат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость ͺпараллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость ͺпроходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость ͺпараллельна плоскости Oyz.

Уравнения ͺкоординатных ͺплоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в ͺпространстве ͺможет быть задана:

1) как линия ͺпересечения двух плоскостей,т.е. системой ͺуравнений:

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0;     

          2) двумя ͺсвоими ͺточками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них ͺпроходящая, задается ͺуравнениями:  = ;[pic 1][pic 2]

        3) точкой M1(x1, y1, z1), ей ͺпринадлежащей, и ͺвектором a (m, n, р), ей коллинеарным. ͺТогда прямая определяется ͺуравнениями:= .[pic 3][pic 4]

Уравнения ͺназываются каноническими ͺуравнениями прямой.

Вектор a называется ͺнаправляющим ͺвектором прямой.

Параметрическиеͺ уравнения прямой получим, ͺприравняв каждое из отношений ͺпараметру t: x = x1 +mt, y = y1 + nt, z = z1 + рt.

Решая систему как систему линейных уравнений ͺотносительно неизвестных x и y, ͺприходим к уравнениям ͺпрямой в проекциях или к ͺприведенным уравнениям ͺпрямой: x = mz + a, y = nz + b.   

От уравнений ͺможно перейти к каноническим ͺуравнениям, находя z из каждого ͺуравнения и приравнивая полученные ͺзначения:  = .[pic 5][pic 6]

От общих уравнений ͺможно переходить к каноническим и ͺдругим способом, если ͺнайти какую-либо точку этой прямой и ее ͺнаправляющий ͺвектор n = [n1, n2], где n1(A1, B1, C1) и n2(A2, B2, C2) - нормальные ͺвекторы заданных ͺплоскостей. Если один из ͺзнаменателей m, n или р в ͺуравнениях окажется равным нулю, то ͺчислитель соответствующей дроби ͺнадо положить равным ͺнулю, т.е. ͺсистема    = .[pic 7][pic 8]