Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

y0[pic 1]

Пусть [pic 2] (модуль комплексного числа), cosφ =[pic 3]

⇒ z = |z|(cosφ + isinφ) (тригонометрическая форма комплексного числа) φ – аргумент числа z (обозначается через argz).

В тригонометрической форме удобно производить умножение комлексных чисел:

|z1|(cosφ1 + isinφ2) · |z2|(cosφ2 + isinφ2) =

|z1·z2|((cosφ1cosφ2−sinφ1sinφ2)+i(cosφ1sinφ2+cosφ2sinφ1)) = |z1·z2|(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)

Таким образом, при умножении комлексных чисел их аргументы перемножаются, а аргументы – складываются.

Пусть φ ∈ R, положим eiφ def= cosφ + isinφ z = |z| · eiφ (показательная форма комплексного числа)

Представить в тригонометрической и показательной формах

√[pic 4]

• z = 1 − i 3

[pic 5].

Необходимо подобрать угол φ, для которого [pic 6]. Очевидно, что[pic 7]

(с точностью до периода).

[pic 8]

Запись результата соответствует определению тригонометрической и показательной форм. Выражения [pic 9] не преобразовываем по свойствам функций, так как мы потеряем найденный выше аргумент.

√[pic 10]

• z = −1 − i 3

[pic 11].

Необходимо подобрать угол φ, для которого[pic 12].

[pic 13]

Данный угол можно, например, выразить через угол первой четверти, для которого

[pic 14],

прибавив к его значению величину π:

[pic 15]

Таким образом,[pic 16]

• z = 5 + 12i

[pic 17] (видно из прямоугольного треугольника) = [pic 18],

[pic 19]

Замечание. Множество значений функции arctgx это интервал [pic 20]), включающий углы IV и I четвертей. Поэтому углы II и III четвертей необходимо выразить через углы IV и I четвертей соответственно, прибавив к их значению величину π:

z = −5−12i (III четверть, так как sinφ и cosφ отрицательны, при этом tgφ также равен [pic 21])

[pic 22].

[pic 23]

Задание множеств точек комплексными числами

Построить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству

• | − (6 + 5i)z + 6 − 6i| ≤ 1

Выделяем вещественную и мнимую части:

| − (6 + 5i)(x + iy) + 6 − 6i| ≤ 1 | − 6x + 5y + 6 + i(−6y − 5x − 6)| ≤ 1

Раскрываем модуль:

p(−6x + 5y + 6)2 + (6y + 5x + 6)2 ≤ 1[pic 24]

Раскрываем скобки, группируем и возводим в квадрат:

61x2 + 61y2 − 12x + 132y + 72 ≤ 1

[pic 25]

Выделяем полные квадраты (дополнив слагаемые с x и слагаемые с y до квадрата двучлена и после этого вычтя добавленные величины):