Комплексные числа

Варианты задания на контрольную работу

1. Записать  комплексные числа в экспоненциальной форме и изобразить на комплексной плоскости.
2. Записать  комплексные числа в алгебраической форме и изобразить на комплексной плоскости.
3. Найти все значения корня из комплексного числа и изобразить их на комплексной плоскости.
4. Исследовать аналитические свойства функций.

1. Представим  данное комплексное число [pic 5] в экспоненциальной форме. Для этого найдем модуль и аргумент данного комплексного числа. Так как [pic 6], [pic 7], то

[pic 8]

[pic 9]

        Таким образом, экспоненциальная форма комплексного числа [pic 10]:

[pic 11].

[pic 12][pic 13][pic 14]

2. Запишем  комплексное число [pic 15]  в алгебраической форме:

[pic 16]

[pic 17][pic 18]

3. Представим комплексное число  в тригонометрической форме. Для этого найдем модуль и аргумент числа. Так как [pic 19], [pic 20], то

[pic 21]

[pic 22]

        Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа :

[pic 23]

Далее извлекаем корни по формуле

[pic 24], [pic 25].

        Тогда:

[pic 26];

[pic 27].

        Построим найденные числа на комплексной плоскости:

[pic 28][pic 29]

4. Исследовать аналитические свойства функции [pic 30]

Данная функция не существует в точке [pic 31], поскольку в этой точке знаменатель дроби обращается в ноль. Значит, функция не является дифференцируемой в точке [pic 32].

Найдем действительную и мнимую части заданной функции. Так как [pic 33],    то [pic 34]