Комплексные числа

Комплексные числа

1. Определение комплексных чисел. Число i. Основные операции над комплексными числами, записанными в алгебраической форме.

Число z = x + iy, где x, y  R, I =  называется комплексным числом. [pic 1][pic 2]

I =  – мнимая единица.[pic 3]

1. Сложение

[pic 4]

1. Вычитание

[pic 5]

1. Умножение

[pic 6]

1. Сопряжение

Число  называется сопряженным числу , где [pic 7][pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

1. Деление

[pic 11]

[pic 12]

1. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня из комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Все формулы с доказательством.

, [pic 13][pic 14]

[pic 15]на плоскости представлен в виде точки М (x, y) или вектором ОМ (x, y).

Длина вектора изображаемого на плоскости комплексного числа называется модулем и обозначается [pic 16]

Аргументом числа z называется величина угла между положительным направлением действительной оси (Re z) и вектором OM (x, y), но он определяется не однозначно.

Arg z = [pic 17]

 [pic 18]

- тригонометрическая запись комплексного числа.[pic 19]

Пусть даны 2 комплексных числа  записанных в тригонометрической форме.[pic 20]

1. Умножение.

[pic 21]

1. Деление

[pic 22]

1. Возведение в степень

Формула Муавра

[pic 23]

Метод мат. Индукции

1. Базис индукции n = 2

[pic 24]

1. Индукционное предположение

Пусть формула справедлива для n=k.

1. Докажем, что и справедливо для n = k + 1

[pic 25]

1. Извлечение из корня.

.[pic 26]

.[pic 27]

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на , [pic 28][pic 29]

[pic 30]

Таким образом [pic 31]

Докажем, что у комплексного числа существует ровно n различных корней.

1. Если k  [0, n – 1], т.е. k = 0…(n-1), то значения тригонометрической функции различны и таким образом мы получаем и n различных корней [pic 32]
2. k = n * q + r, где q = 1, 2…, r = 0…(n-1), k > (n-1)

[pic 33]

Эти числа уже были вычислены. Аналогично и для отрицательных чисел.

Многочлены

1. Теорема о делении многочлена (без доказательства).

Для любых двух многочленов f(x) и g(x)  существуют многочлены q(x) и r(x) удовлетворяющим следующим требованиям:[pic 34]

1.  или r(x) = 0 (deg r(x) - степень многочлена) (1)[pic 35]
2.  определяются единственным образом[pic 36]

F(x) – делимое

G(x) – делитель

Q(x) – частное

R(x) – остаток

1. Корень многочлена. Основная теорема алгебры (без доказательства). Теоремы Безу (с доказательством), теорема Виета

Комплексное число  называется корнем многочлена f(x) если [pic 37][pic 38]

Основная теорема алгебры:

Многочлен n-ой степени с комплексным коэффициентами имеет ровно n комплексных корней с учетом их кратности.

Теорема Виета:

[pic 39]

[pic 40]

 (сумма всех перестановок из 2-ух элементов)[pic 41]

 (сумма всех перестановок из 3-ех элементов)[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

Доказательство состоит в раскрытии всех скобок в выражении  и затем приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях, тем самым получая формулы Виета.  [pic 46]

Теорема Безу:

Остаток от деления многочлена f(x) на (x- равен f(x)[pic 47]

По т. Деления имеем , deg r(x) < deg (x-) .[pic 48][pic 49][pic 50]

.[pic 51]

Следствие:

Если x =  – корень f(x) , то f(x) = (x-)q(x)[pic 52][pic 53]

Если х =  – корень 1 кратности, то х =  называется простым корнем.[pic 54][pic 55]