Многочлены и комплексные числа

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА)

Кафедра алгоритмической математики

ОТЧЕТ (ОБРАЗЕЦ)

по индивидуальному домашнему заданию № 1

по дисциплине «Алгебра и геометрия»

Тема: многочлены и комплексные числа 

Санкт-Петербург

2020

ВАРИАНТ ЗАДАНИЯ^[1] И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ

Примечания будут записываться красным. В окончательном варианте Вашего отчета их (включая данное) быть не должно!

[pic 1]

Рисунок 1 – Вариант задач ИДЗ

Таблица 1. Ответы к задачам

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ИДЗ

Задача № 1.^[4]

При каких значениях параметра  уравнение^[5] 
[6] не имеет решений? Имеет бесконечно много решений? Имеет единственное решение? Найдите его.[pic 7][pic 8]

Дано:^[7]

;^[8][pic 9]

;[pic 10]

. [pic 11]

Решение.

У уравнения  нет решений, тогда и только тогда, когда  и  одновременно. Решим уравнения  и .[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

;[pic 17]

;[pic 18]

; [pic 19]

; ^[9][pic 20]

 ^[10][pic 21]

 Аналогично расписывается решение уравнения  (Вам расписывать его нужно).[pic 22]

;[pic 23]

<…>^[11]

 [pic 24]

Таким образом, ,  и при  уравнение  не имеет решений.[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

У уравнения  бесконечно много решений тогда и только тогда, когда . Учитывая, что ^[12] уравнение  имеет бесконечно много решений при .[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

Пусть  и , тогда уравнение  преобразуется к , это и есть корень исходного уравнения.[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

Ответ: решений нет при , решений бесконечное множество при , единственное решение имеет вид .[pic 38][pic 39][pic 40]

Задача № 2.

Решить в тригонометрической форме и записать ответ в алгебраической .[pic 41]

Дано:

;[pic 42]

.[pic 43]

Решение.

;[pic 44]

;[pic 45]

;[pic 46]

; ^[13]  [pic 47]

 
;[pic 48][pic 49]

<…>

Задача № 3.

Разложить на множители над множеством комплексных чисел
.[pic 50]

Дано:

.[pic 51]

Решение.

;[pic 52]

Найдем с помощью компьютера НОД  и , после чего найдем нули найденного многочлена:[pic 53][pic 54]

;[pic 55]

<…>

.[pic 56]

Таким образом, найдены два корня, кратности 1. Следовательно, они же являются корнями  кратности 2. Выполним последовательное (дважды) деление  на , а затем – на :[pic 57][pic 58][pic 59][pic 60]

;[pic 76]

;[pic 77]

 
;[pic 78][pic 79]

;[pic 93]