Сызықтық операторлар кеңістігі

Қазақстан Республикасының білім және ғылым министрлігі Е.А. Бөкетов атындағы Қарағанды Университеті

Математика және ақпараттық технологиялар факультеті Математикалық анализ және дифференциалдық теңдеулер кафедрасы

РЕФЕРАТ

Тақырып: «Сызықтық операторлар кеңістігі»

Орындаған: М-19-3 тобының

Студенті Куандыков К. К.

Тексерген: Шаяхметова Б. К.

Қарағанды 2022

Мазмұны

Кіріспе

1.Сызықтық операторлар кеңістігі

1.1 Сызықты операторларға орындалатын амалдар. Сызықты операторларды қосу және көбейту.

1.2 Сызықты операторларды санға көбейту.

1.3 Сызықты операторлардың рангісі және деффектісі.

1.4 Сызықты операторлардың меншікті векторлары мен меншікті мәндері.

2. Евклид кеңістігіндегі сызықты операторларына және сызықты функционалына анықтамалар.

2.1 Ортогональ операторларына және ортогональ оператордың қасиеттері.

2.2 Унитар оператор.

2.3 Сызықты оператордың меншікті мәнін Шмид әдісі бойынша табу және Евклид кеңістігіндегі кез-келген сызықты операторына түсініктеме.

Қорытынды

Пайдаланған әдебиеттер

Кіріспе

Анықтама. [pic 1] Е және [pic 2] сызықтық нормаланған кеңістік болсын . Е-ден [pic 3] -ге әсер ететін у=Ах , х [pic 4] Е, у [pic 5] бейнелеуі келесі

А( [pic 6] + [pic 7]

шартын қанағаттандырса, сызықтық операторлар деп аталады.

Жұмыстын мақсаты. А бейнелеуі барлық х [pic 8] Е элементтер жиынын құрайтын А операторының анықталған Д(А) облысы болсын. Яғни Д(A)=E деп алып, мұндағы Д(A) сызықтық көпбейнелілік деп аталады, егер х, у [pic 9] Д(A) және кез келген [pic 10] үшін [pic 11] х+ [pic 12] у [pic 13] орындалса. [pic 14] , [pic 15] мәндер жиыны.

Егер [pic 16] =A [pic 17] нүктесінің кез келген V аймағы үшін, [pic 18] нүктесінің U [pic 19] аймағы табылса, және х [pic 20] үшін Ax [pic 21] орындалса, А операторы [pic 22] Д(A) нүктесінде үзіліссіз деп аталады.

Е және [pic 23] –нормаланған кеңістік болса, келесі анықтамада күшіне енеді. Егер кез келген [pic 24] 0 саны үшін [pic 25] 0 табылып,

|| [pic 26] , [pic 27] , [pic 28] Д(А)

теңсіздіктен

|| [pic 29] -А [pic 30] шықса, онда А операторы үзіліссіз деп аталады.

Ах = 0 болатындай х [pic 31] Е жиыны, А сызықтық операторының ядросы деп аталады және KerA деп белгілейді. Кейбір х [pic 32] Д(A) үшін у = Ах орындалатындай у [pic 33] жиыны, А сызықтық операторының бейнесі деп аталады да, ImA деп белгілейді. Сызықтық оператордың ядросы мен бейнесі сызықтық көпбейнелілік болып табылады. Егер оператор үзіліссіз және Д(A)=E болса, онда KerA ішкі кеңістік болады, яғни тұйық. Сызықтық үзіліссіз оператордың бейнесі, Д(A) = E болғанның өзінде [pic 34] –дің ішкі кеңістігі болмайды. Сызықты функционалдың ұғымы сызықты оператордың жеке жағдайы болып қарастырылады. Сызықты функционал - Е кеңістігін R сандар өрісіне ауыстыратын сызықты оператор болып табылады.

Жұмыстын міндеттері:

- Сызықты операторлар анықтамасын дәлелдеу;

- Сызықтық операторлар кеңістігі мысалдар;

1. Сызықтық операторлар кеңстігі.

Анықтама Егер   барлық  [pic 35] векторлар  үшін  сәйкесінше [pic 36]  немесе [pic 37] анықталған  вектор сәйкес  қойылса, онда [pic 38] векторлық  кеңістікке  оператор  немесе  бейнелеу  [pic 39] -  берілді деп айтамыз.

Егер кез-келген  [pic 40] векторлары мен [pic 41] скаляр саны үшін төмендегі теңдіктері:

1. [pic 42];

2. [pic 43];

орындалса,  онда  [pic 44]  операторы  сызықты  оператор деп аталады.