Сызықтық кеңістіктер

Сызықтық кеңістіктер

Сызықтық кеңістік ұғымы бағытталған кесінділер кеңістігі мен

арифметикалық кеңістік ұғымдардың жалпыламасы болады. Өріс үстіндегі

сызықтық кеңістік, осы кеңістіктің элементтерін қосу амалы мен өріс

коэффициенттеріне кеңістіктің элементтерін көбейту амалымен бірге,

алгебралық жүйе ретінде қарастырылады. Әдебиетте аталған екі амалды

сызықтық амалдар дейді. Сызықтық кеңістік элементтерінің табиғаты қандай

болатындығы маңызды емес, тек сызықтық амалдардың қасиеттері бағытталған

кесінділерге және арифметикалық кеңістіктің векторларына қолданылатын

сызықтық амаларының қасиеттеріне пара-пар болуы ғана маңызды. Жалпы

сызықтық кеңістіктің бағытталған кесінділер және арифметикалық

кеңістіктермен көптеген ортақ қасиеттері бар. Соларды және бұрын кездеспеген

қасиеттер мен ұғымдарды зерттеу осы тараудың негізгі мақсаты болып

табылады.

Сызықтық кеңістік ұғымы

Анықтама 1. 〈Р; +, ∙ 〉 өрісі үстіндегі сызықтық кеңістік деп қандай да бір

Х жиыны мен Р жиынының 〈Х, Р〉 жұбын атаймыз. Бұл жерде Х , оның

элементтеріне өзара  : X × X  X қосу және Р элементтеріне ○: P × X → X

көбейту амалдары анықталған жиын. Х жиынының элементтерін векторлар деп

атаймыз. Сонымен қатар, 〈Х, Р〉 жұбы келесі 8 аксиомаларды қанағаттандыруы

керек:

L1 ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋(𝑎  b = b  𝑎) векторларды қосу амалы коммутатив

(ауыстырымды);

L2 ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑎  b) c = 𝑎  (b  c)) – векторларды қосу амалы

ассоциатив (терімді);

L3 ∃𝜃 ∈ Х∀𝑎 ∈ 𝑋 (𝜃  𝑎 = 𝑎  θ = 𝑎) қосу амалына қатысты бір ерекше

элементтің бар болуы. Бұл элементті нөлдік вектор деп атаймыз да, әдетте, 𝜃

әріпімен белгілейміз;

L4 ∀𝑎 ∈ 𝑋∃𝑏 ∈ 𝑋(𝑎  b = b  𝑎 = θ) қосу амалына қатысты қарама – қарсы

векторлар табылу аксиомасы. Бұл аксиоманы қанағаттандыратын b векторын

𝑎 -ға қарама-қарсы