Сызықтық кеңістік ұғымы

Сызықтық кеңістік ұғымы

 Анықтама 1.   P өрісі үстіндегі сызықтық кеңістік деп қандай да бір Х жиыны мен Р жиынының 〈Х, Р〉 жұбын атаймыз. Сонымен қатар, 〈Х, Р〉 жұбы келесі 8 аксиомаларды қанағаттандыруы керек:

 L1 ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋(𝑎 ⊕ b = b ⊕ 𝑎) векторларды қосу амалы коммутатив (ауыстырымды);

Кез келген  х жиынына тиісті a,b векторлары үшін (𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎)  векторларды қосу амалы коммутатив (ауыстырымды);

L2 ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑎 ⊕ b)⊕ c = 𝑎 ⊕ (b ⊕ c)) – векторларды қосу амалы ассоциатив (терімді);

Х жиынының кез келген 𝑎, 𝑏, 𝑐 элементі үшін (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) векторларды қосу амалы ассоциатив (терімді);

L3 ∃𝜃 ∈ Х ∀𝑎 ∈ 𝑋 (𝜃 ⊕ 𝑎 = 𝑎 ⊕ θ = 𝑎) қосу амалына қатысты бір ерекше элементтің бар болуы. Бұл элементті нөлдік вектор деп атаймыз да, әдетте, 𝜃 әріпімен белгілейміз;

Х жиынына тиісті тетта элементі табылады, Х жиының кез келген а элементі үшін (𝜃 + 𝑎 = 𝑎 + 𝜃 = 𝑎) ) қосу амалына қатысты бір ерекше элементтің бар болуы. Бұл элементті нөлдік вектор деп атаймыз да, әдетте, 𝜃 әріпімен белгілейміз;

 L4 ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋(𝑎 ⊕ b = b ⊕ 𝑎 = θ) қосу амалына қатысты қарама – қарсы векторлар табылу аксиомасы. Бұл аксиоманы қанағаттандыратын b векторын 𝑎 -ға қарама-қарсы вектор деп атаймыз;

Х жиынының кез келген а элементі үшін, табылады х жиынының b элементі (𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 = 𝜃) қосу амалына қатысты қарама – қарсы векторлар табылу аксиомасы. Бұл аксиоманы қанағаттандыратын b векторын 𝑎 -ға қарама-қарсы вектор деп атаймыз;

 L5 ∀𝑎 ∈ 𝑋(1 ○ 𝑎 = 𝑎 ) векторды P өрісінің бірлігіне көбейтудің ерекшелігі

Х жиынының кез келген а элементі үшін, (1 ∙ 𝑎 = 𝑎) векторды P өрісінің бірлігіне көбейтудің ерекшелігі

 L6 ∀ 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑋 ((𝛼 ∙ 𝛽) ○ 𝑎 = α ○ (β ○ 𝑎)) - өріс коэффициенттеріне векторларды көбейту амалы ассоциатив (терімді)

P өрісінің кез келген α,β элементтері үшін, Х жиынының кез келген а векторы үшін (𝛼 ∙ 𝛽) ∙ 𝑎 = 𝛼 ∙ (𝛽 ∙ 𝑎) өріс коэффициенттеріне векторларды көбейту амалы ассоциатив (терімді)

L7 ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑋((𝛼 + 𝛽) ○ 𝑎 = α ○ 𝑎 ⊕ β ○ 𝑎) – өріс коэффициенттеріне векторларды көбейту амалы коэффициенттерді қосу амалы бойынша дистрибутив (үлестірімді);

P өрісінің кез келген α ,β элементтері үшін Х жиынының кез келген а элементі үшін  (𝛼 + 𝛽)𝑎 = 𝛼𝑎 + 𝛽𝑎) өріс коэффициенттеріне векторларды көбейту амалы коэффициенттерді қосу амалы бойынша дистрибутив (үлестірімді);