Сызықтық кеңістік ұғымы

Сызықтық кеңістік ұғымы 

Анықтама 1. 〈Р; +, ∙ 〉 өрісі үстіндегі сызықтық кеңістік деп қандай да бір  Х  жиыны мен Р жиынының 〈Х, Р〉 жұбын атаймыз. Бұл жерде Х, оның элементтеріне өзара   : X × X  X  қосу және Р элементтеріне ○: P × X → X көбейту амалдары анықталған жиын.  Х  жиынының элементтерін векторлар деп атаймыз. Сонымен қатар, 〈Х, Р〉  жұбы келесі 8 аксиомаларды қанағаттандыруы керек:

1   ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋(𝑎  b = b  𝑎) векторларды қосу амалы коммутатив (ауыстырымды);

2  ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑎  b) c = 𝑎  (b  c)) – векторларды қосу амалы ассоциатив (терімді);

3  ∃𝜃 ∈ Х  ∀𝑎 ∈ 𝑋 (𝜃  𝑎 = 𝑎  θ = 𝑎) қосу амалына қатысты бір ерекше элементтің бар болуы. Бұл элементті нөлдік вектор деп атаймыз да, әдетте, 𝜃 әріпімен белгілейміз;

4  ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋(𝑎  b = b  𝑎 = θ) қосу амалына қатысты қарама – қарсы  векторлар  табылу  аксиомасы. Бұл аксиоманы қанағаттандыратын b векторын 𝑎 -ға қарама-қарсы вектор деп атаймыз;

5   ∀𝑎 ∈ 𝑋(1 ○ 𝑎 = 𝑎 ) векторды P өрісінің бірлігіне көбейтудің ерекшелігі;

6  ∀  𝛼, 𝛽 ∈ 𝑃 ∀𝑎 ∈ 𝑋    ((𝛼 ∙ 𝛽) ○ 𝑎 = α ○ (β ○ 𝑎)) - өріс коэффициенттеріне векторларды көбейту амалы ассоциатив (терімді);

7  ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝑃∀𝑎 ∈ 𝑋((𝛼 + 𝛽) ○ 𝑎 = α ○ 𝑎  β ○ 𝑎) – өріс коэффициенттеріне векторларды көбейту амалы коэффициенттерді қосу амалы бойынша дистрибутив (үлестірімді);

8  ∀𝛼 ∈ 𝑃  ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋 (𝛼 ○ (𝑎  b) = α ○ 𝑎  α ○ b) - өріс коэффициенттерін векторларға көбейту амалы векторларды қосу амалы бойынша дистрибутив (үлестірімді).

Қасиеттері. Сызықтық кеңістікте нөлдік вектор болады, осы себептен оған айрықша символды пайдалану өте заңды (біз нөлге ұқсас болатын грек алфавитының 𝜃 әріпін қаладық);

Әрбір векторға сәйкес келетін қарама-қарсы вектор да жалғыз болып табылады (a векторына қарама-қарсы векторды – а арқылы белгілейміз);

Векторларды қосу амалына кері келетін азайту амалы 𝑎 − 𝑏 ⇋ 𝑎 + (−𝑏) теңдігімен анықталады және т.с.с.

1.   0 ∙ 𝑎 = 𝜃

2.   −𝑎 = (−1) ∙ 𝑎

3.   −(𝛼 ∙ 𝑎) = (−𝛼) ∙ 𝑎 = 𝛼 ∙ (−𝑎)

4.   (𝛼 – 𝛽)𝑎 = 𝛼𝑎 – 𝛽𝑎

5.   𝛼(𝑎 – 𝑏) = 𝛼𝑎 – 𝛼𝑏

6.   𝛼 ∙ 𝜃 = 𝜃

7.   Егер 𝛼𝑎 = 𝜃, ал 𝛼 ≠ 0 болса, онда 𝑎 = 𝜃;

8.   Егер 𝛼𝑎 = 𝜃, ал 𝑎 ≠ 𝜃 болса, онда 𝛼 = 0

9.   Егер 𝛼𝑎 = 𝛼𝑏 және  𝛼 ≠ 0 болса, онда 𝑎 = 𝑏

10.  Егер  𝛼𝑎 = 𝛽𝑎 және 𝑎 ≠ 𝜃 болса, онда 𝛼 = 𝛽

Мысалы.  Элементтері Р өрісіне тиісті 𝑘 × 𝑛 - матрицалар жиынын 𝑀𝑘×𝑛 (𝑃) арқылы белгілейік. Егер сызықтық амалдар ретінде матрицаларды қосу және Р-ның коэффициенттеріне көбейту амалдарын алсақ, онда 〈𝑀𝑘×𝑛 (𝑃), 𝑃〉 жұбы сызықтық кеңістік болады.

       Ішкі кеңістіктер 

Анықтама 1. 〈𝑋, 𝑃〉  сызықтық кеңістік, ал L жиыны  X жиынының қандай да бір бос емес ішкі жиыны болсын. Егер кеңістіктің амалдары бойынша 〈𝐿, 𝑃〉  жұбы сызықтық кеңістік құрайтын болса, онда L жиыны X-тың ішкі сызықтық кеңістігі деп аталады.

Теорема 1.   〈𝑋, 𝑃〉   сызықтық кеңістік, ал L жиыны X-тың кез келген бос емес ішкі жиыны болсын.  L жиыны X-тың ішкі кеңістігі болуы үшін 〈𝑋, 𝑃〉 сызықтық кеңістігінің амалдары бойынша L жиыны тұйық болуы қажетті және жеткілікті.  

Дәлелдеу. Қажеттілік. Егер  𝐿 жиыны  〈𝑋, 𝑃〉 сызықтық кеңістігінің ішкі кеңістігі болса, онда  〈𝐿, 𝑃〉  жұбы сызықтық кеңістік болады. Ендеше, 𝐿 сызықтық амалдар бойынша тұйық болады.