Приобретение навыков решения нелинейных уравнений

[pic 1]

[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

Цель работы: приобретение навыков решения нелинейных уравнений

Задание на лабораторную работу

1. Задана функция f(x,y) и вещественные числа a,b и целое число n. Для каждого значения   найти корень уравнения F(x) = f(x,)=0 . Если уравнение имеет несколько корней то отдать предпочтение положительному, а среди корней одного знака наименьшему по модулю. Каждый корень найти с точностью 0.001 . [pic 8][pic 9]
2. Для каждого  найти интервал в котором содержится корень уравнения и проверить применимость численного метода.[pic 10]
3. Найти корень использую заданный метод
4. Разработать алгоритм и составить программу для решения уравнения
5. Выдать график функции F(x)=0

Выполнение работы

Вариант №14

1. Дана ф-я f(x,y) =  . Найдем первый   по формуле   [pic 11][pic 12][pic 13]

h =  = 0,3. Тогда  [pic 14][pic 15]

Составим ф-ю F(x) = f(x,) = [pic 16][pic 17]

Решим нелинейное уравнение [pic 18]

Для нахождения  интервала в котором содержится корень уравнения изобразим 2 графика функции f(x) = . По их точкам пересечения определим интервал.  Затем с помощью метода касательных найдем решение нелинейного уравнения с точностью 0.001[pic 19]

[pic 20]

Как видно по рисунку графики пересекаются лишь в одной точке x = -1, которая и является корнем уравнения, следовательно применять метод касательных не имеет смысла .

1. Найдем следующие значения [pic 21]

[pic 22]

Тогда уравнение имеет вид . Для простоты построения графиков представим уравнения в виде  и построим два графика [pic 23][pic 24]

y=  ;[pic 26][pic 25]

По графику видно, что решение находится в интервале  [0.2;0.4] . Найдем его точное значение методом касательных. На первом этапе найдем начальное приближение . Обычно это один из концов отрезка. Начальное приближение должно удовлетворять следующему условию:
[pic 28]. [pic 27]

Найдём первую и вторую производные функции   [pic 29]

[pic 30]

Проверим левый конец отрезка: f(0,2) = . [pic 31][pic 32]

= -75,19018[pic 33]

Тогда f(, следовательно   Теперь высчитаем следующие приближенное значение корня по формуле [pic 34][pic 35][pic 36]

Найдем  [pic 37]

Найдем =-0,0608456 < 0.001, Следовательно заканчиваем итерации и находим решение:  = 0,2608356[pic 38][pic 39]

Ответ: x ≈ 0,2608356

Аналогичным способом решим остальные уравнения:

Найдем значение : [pic 40][pic 41]

Тогда получим уравнение . Для простоты построения графиков представим уравнения в виде  и построим два графика [pic 42][pic 43]

y= ;[pic 45][pic 44]

По графику видно, что решение находится в интервале  [0,4;0,6]. Найдем начальное приближение [pic 46]

Найдём первую и вторую производные функции   [pic 47]

[pic 48]

Проверим левый конец отрезка: f(0,4) =  = -9,52592[pic 49][pic 50][pic 51]

Тогда f(, следовательно  [pic 52][pic 53]

Найдем  [pic 54]

Найдем =-0,0759204 <0.001 ;Следовательно заканчиваем итерации и находим решение:  = 0,4759204[pic 55][pic 56]

Ответ: x ≈ 0,4759204

Найдем значение : [pic 57][pic 58]

Тогда получим уравнение . Для простоты построения графиков представим уравнения в виде  и построим два графика [pic 59][pic 60]

y=[pic 61]

[pic 62]

По графику видно, что решение находится в интервале  [0,6;0,8]. Найдем начальное приближение [pic 63]

Найдём первую и вторую производные функции   [pic 64]

[pic 65]

Проверим левый конец отрезка: f(0,6) =  = -2,9013[pic 66][pic 67][pic 68]

Тогда f(, следовательно  [pic 69][pic 70]

Найдем  [pic 71]

Найдем = -0,0811973 < 0.001 ;Следовательно заканчиваем итерации и находим решение:  = 0,6811973[pic 72][pic 73]

Ответ: x ≈ 0,6811973

Найдем значение : [pic 74][pic 75]

Тогда получим уравнение . Для простоты построения графиков представим уравнения в виде  и построим два графика [pic 76][pic 77]