Пределы функций. Примеры решений

Пределы функций. Примеры решений

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который дал строгие определения многим понятиям матана и заложил его основы. Надо сказать, этот уважаемый математик снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причём одна теорема убойнее другой. В этой связи мы пока не будем рассматривать определение предела по Коши, а попытаемся сделать две вещи:

1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.    

Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.

Итак, что же такое предел?

А сразу пример, чего бабушку лохматить….

[pic 1]

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела [pic 2]. 
2) Записи под значком предела, в данном случае [pic 3]. Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно [pic 4], хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ([pic 5]).
3) Функции под знаком предела, в данном случае [pic 6].

Сама запись [pic 7] читается так: «предел функции [pic 8] при икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала [pic 9], затем [pic 10], [pic 11], …, [pic 12], …. 
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

[pic 13]

Готово.

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью:

[pic 14]

Разбираемся, что такое [pic 15]? Это тот случай, когда [pic 16] неограниченно возрастает, то есть: сначала [pic 17], потом [pic 18], потом [pic 19], затем [pic 20] и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией [pic 21]? 
[pic 22], [pic 23], [pic 24], …

Итак: если [pic 25], то функция [pic 26] стремится к минус бесконечности:

[pic 27]

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию  [pic 28] бесконечность и получаем ответ.

Еще один пример с бесконечностью:

[pic 29]

Опять начинаем увеличивать [pic 30] до бесконечности и смотрим на поведение функции:
[pic 31]

Вывод: при [pic 32] функция [pic 33]  неограниченно возрастает:
[pic 34]

И еще серия примеров: