Примеры решения заданий с параметрами по "Математике"

Решение заданий с параметрами

1. Действительные числа [pic 1] и [pic 2] таковы, что [pic 3].    Найти наименьшее значение суммы [pic 4].

Решение.

Из уравнений системы следует:

[pic 5]

Заметим, что:

[pic 6]

Рассмотрим функцию  ,  это квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз[pic 7]

[pic 8]

Следовательно, данная функция (а значит и выражение ) на множестве действительных чисел не имеет наименьшего значения, а наибольшее значение принимает в вершине параболы  [pic 9][pic 10]

Согласно теореме Виета, х и у являются корнями квадратного уравнения:

[pic 11]

для которого [pic 12]

По условию числа х и у действительные, следовательно, [pic 13]

[pic 14]

                                                                     (метод интервалов)

                                                                         [pic 15]

                                                                           [pic 16]

                                                                           [pic 17]

[pic 18]

                                                                                        [pic 19]

Т.к. при   функция    убывает, то с учетом промежутка ,[pic 20][pic 21][pic 22]

наибольшее значение (а, значит, и наибольшее значение выражения ) достигается при  и равно:      а наименьшее – при  и равно:  [pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

Ответ: наименьшее значение равно 0, а наибольшее равно 8.

1. Найти все значения параметра [pic 28], при которых неравенство  [pic 29]выполняется при всех значениях [pic 30], таких, что[pic 31].

Решение.

Пусть  , тогда для данного квадратного трехчлена[pic 32]

[pic 33]

Если  , то эскиз графика функции будет выглядеть так:[pic 34]

[pic 35]

и  указанное в условии задачи неравенство выполняется при любом значении переменной  х, и в частности при условии [pic 36], т.е. на отрезке .[pic 37]

Следовательно, все решения неравенства  удовлетворяют условию задачи.[pic 38]

Найдем их:

[pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

видим, что действительных корней нет, значит, парабола   не пересекает ось ОХ, причем ветви ее направлены вверх (6>0), поэтому эскиз графика будет выглядеть так же, как на рис. выше, и, следовательно, неравенство  не имеет решений.[pic 42][pic 43]

Из эскиза графика понятно, что     для любых значений а.[pic 44][pic 45]

Таким образом, для любых , выполнено неравенство  , и, значит, трехчлен  имеет два различных действительных корня x1 и  x2.[pic 46][pic 47][pic 48]