Метрические пространства

Содержание

2 Теоретическая часть

2.1 Метрические пространства

Важнейшая операция анализа – это предельный переход. В основе этой операции лежит тот факт, что на числовой прямой определено расстояние от одной точки до другой.  

Определение 1. Метрическим пространством называется пара [pic 1], состоящая из некоторого множества (пространства)  [pic 2]элементов (точек) и расстояния, так если однозначной неотрицательной функции [pic 3], определенной на любых [pic 4]и  [pic 5] из [pic 6]и подчиненной следующим трем аксиомам:

1. [pic 7] если и только если [pic 8],
2. (аксиома симетрии): [pic 9],
3. (аксиома треугольника):  [pic 10].

           Само метрическое пространство, т.е. пару  [pic 11], мы будем обозначать одной буквой [pic 12]. Если недоразумения исключены, то метрическое пространство можно обозначить тем же символом, что и сам «запас» точек [pic 13].

        Примеры метрических пространств

1. Положив для элементов произвольного множества

[pic 14](1)

Мы получим метрическое пространство. Его называют пространством изолированных точек.

1. Множество действительных чисел с расстоянием

[pic 15](2)

     Образует метрическое пространство [pic 16].

1. Множество упорядоченных групп из [pic 17] действительных чисел [pic 18] с расстоянием

[pic 19](3)

Называется [pic 20]- мерным арифметическим евклидовым пространством [pic 21]. Справедливость аксиом 1 и 2 для [pic 22] очевидна. Покажем, что в [pic 23]выполнена и аксиома треугольника. Для этого нам потребуется доказать неравенство Коши-Буняковского

          Неравенство Коши-Буняковского: [pic 24]

        Докажем его. Справедливо тождество

                                [pic 25],

которое проверяется непосредственно, и т.к. [pic 26], то справедливость неравенство Коши-Буняковского установлена.

Теперь легко показать справедливость аксиомы треугольника для метрики (3). Пусть [pic 27], [pic 28] и [pic 29]. Тогда неравенство треугольника [pic 30] запишется в виде

                                 [pic 31].

Полагая  [pic 32], [pic 33], получаем, что [pic 34], а последнее неравенство запишется в виде

                                                 [pic 35].

Но это неравенство сразу следует из неравенства Коши-Буняковского:

                        [pic 36]

Таким образом, неравенство треугольника метрики (3) установлено.

1. Рассмотрим то же самое множество упорядоченных групп из [pic 37] действительных чисел [pic 38], но расстояние определим по формуле

[pic 39]. (4)

        Справедливость аксиом метрики очевидна. Обозначим это метрическое пространство [pic 40].

1. В том же самом множестве, что и в примерах 3 и 4, определим расстояние между элементами по формуле

[pic 41]. (5)

По прежнему справедливость аксиом метрики очевидна. Обозначим это метрическое пространство через [pic 42].

Замечание 1. Примеры 3,4 и 5 показывают, что иногда важно иметь различные обозначения для самого метрического пространства и для множества его точек, так как один и тот же запас точек может быть по разному метризован.