Метод прогонки – метод решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей

Метод прогонки – метод решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей

        Метод прогонки разработан специально для решения «трёхчленной системы» линейных алгебраических уравнений, т.е. каждое из которых содержит три соседних неизвестных.

        Рассмотрим систему трехточечных уравнений

[pic 1]

  (1)[pic 2]

[pic 3]

предположим, что коэффициенты отличны от нуля. Матрица этой системы является трехдиагональной и имеет вид

[pic 4]     (2)

Пусть мы хотим применить к системе (1) метод Гаусса: из первого уравнения

[pic 5]

Обозначим                (3)[pic 6]

Тогда

      (4)[pic 7]

Запишем уравнение при  ( в (1) подставляем  ) :[pic 8][pic 9]

[pic 10]

Подставим вместо  его значение из (4):[pic 11]

[pic 12]

Выражая через [pic 13][pic 14]

[pic 15]

где  и т.д. продолжая процесс получим [pic 16]

   (5)[pic 17]

где      .    (6)[pic 18]

Если взять выражение (5) для значения  и добавить последнее уравнение системы (1), то получим систему из 2-х уравнений относительно [pic 19][pic 20]

[pic 21].

Разрешая их относительно , получим   [pic 22]

(7)[pic 23]

Описанный метод решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей называется методом правой прогонки. Все вычисления как бы «прогоняются» два раза. Сначала вычисляются коэффициенты  и  – вспомогательные числа, которые называются прогоночными коэффициентами. Для  этого используются формулы (3), (6) в порядке возрастания индекса . При этом для вычисления значений  и  используется краевое условие на левом конце. Эти формулы описывают прямой ход метода прогонки. Формулы (5) и (7) – реализуют обратный ход. На первом шаге обратного хода происходит согласование полученных чисел ,  с краевым условием на правом конце отрезка, после чего последовательно получаются значения искомой функции  в порядке убывания индекса i.[pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]