Решение СЛАУ методом LU

Отчет по заданию №2.

1. Постановка задачи.

Решение СЛАУ методом LU-разложения. Проверить вычислительную ошибку (сравнивая с точным решением) для матриц с различными числами обусловленности. Размерность системы не менее 10. Проанализировать устойчивость решения.

1. Исходные данные.

Хорошо обусловленная матрица А1, число обусловленности < 10^2:

cond(A1)

ans=

   49.0000

[pic 1]

Вектор правых частей b1:

[pic 2]

Плохо обусловленная матрица А2, число обусловленности > 10^5:

cond(A2)

ans =

   1.9000e+05

[pic 3]

Вектор правых частей b2:

[pic 4]

1. LU-разложение матрицы.

Теорема. Пусть все ведущие подматрицы [pic 5] , [pic 6] , матрицы [pic 7] являются невырожденными. Тогда [pic 8] единственным образом представима в виде:

[pic 9] 

где [pic 10] - нижняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали, [pic 11] - верхняя треугольная матрица.

[pic 12]

Элементы матриц [pic 13] могут быть найдены по следующим формулам:

[pic 14]

1. Решение СЛАУ с помощью LU разложения.

Пусть решается СЛАУ, при этом имеется LU-разложением матрицы системы. Тогда метод решения СЛАУ, основанный на LU-разложении заключается в следующем. Исходная система [pic 15] представляется в эквивалентном виде:

[pic 16] 

Обозначим произведение матрицы [pic 17] на вектор неизвестных [pic 18] через вектор новых неизвестных [pic 19] :

[pic 20] 

тогда система примет вид:

[pic 21] 

Таким образом, чтобы решить исходную систему общего вида в методе, основанном на LU-разложении, надо решить последовательно две системы, но с треугольными матрицами.

СЛАУ – система с нижней треугольной матрицей с единицами на главной диагонали:

[pic 22]  

Ее решение происходит сверху вниз путем последовательной подстановки уже найденных значений [pic 23] . После того, как [pic 24] найден, решается СЛАУ: 

[pic 25] 

1. Анализ результатов, полученных после реализации решения СЛАУ в программе MATLAB.

• Погрешность хорошо обусловленной матрицы (А1)

X—~X=

   1.0e-13 *

    0.0377

    0.2842

    0.0888

   -0.3197

    0.1421

   -0.2576

   -0.1421

    0.0266

   -0.0711

    0.0178

• Невязка хорошо обусловленной матрицы

A1*~X—b1=

   1.0e-12 *

   -0.0568

    0.0142

    0.0853

   -0.0284

    0.0284

         0

   -0.0568

   -0.0142

   -0.1705

    0.1137

• Погрешность плохо обусловленной матрицы (А2)

X—~X=

   1.0e-10 *

    0.0105

   -0.0961

   -0.1269

    0.0085

   -0.1559

    0.0784

   -0.1204

   -0.0467

   -0.0293

    0.1993

• Невязка плохо обусловленной матрицы

A2*~X—b2=

   1.0e-09 *

   -0.0582

   -0.2328

         0

    0.3492

    0.2328

         0

    0.3492

         0

         0

    0.0582

1. Исследование на устойчивость к погрешностям исходных данных.

1. Возмущение вектора правой части для:

• Хорошо обусловленной матрицы (А1)

 ~b1=(1+δ)*b1

||δX|| = ||X — ~X|| - норма разности решений, где ~X  - решение уравнения A1*X=~b1, полученное после возмущения вектора b1

Разность решений X — ~X в зависимости от возмущения:

• Плохо обусловленной матрицы (А2)

 ~b2=(1+δ)*b2

||δX|| = ||X — ~X|| - норма разности решений, где ~X  - решение уравнения A2*X=~b2, полученное после возмущения вектора b2

Разность решений X — ~X в зависимости от возмущения: