Математические ряды

10. Исследовать ряды на сходимость.

а)    [pic 1] 

Решение:

Для исследования этого ряда на сходимость воспользуемся признаком Даламбера:  если существует [pic 2], то при [pic 3] ряд [pic 4]сходится, а при [pic 5]расходится.

[pic 6]

[pic 7]

Следовательно, ряд  [pic 8] сходится.

Ответ: ряд [pic 9]  сходится.

б) [pic 10] 

Решение:

Для исследования числового ряда [pic 11] на сходимость применим предельный признак сравнения. Сравним со сходящимся рядом [pic 12].

[pic 13]

Так как предел равен конечному числу, отличному от нуля, то ряд [pic 14] сходится вместе с рядом[pic 15].

Ответ: ряд [pic 16] сходится.

в) [pic 17] 

Решение:

Для исследования числового ряда [pic 18] на сходимость применим предельный признак Коши. Если для знакоположительного ряда [pic 19] существует предел корня n-ой степени из общего члена ряда, [pic 20], то при [pic 21] ряд [pic 22]сходится, а при [pic 23]расходится.

[pic 24]

Так как предел больше 1, то ряд [pic 25] расходится.

Ответ: ряд [pic 26] расходится.

20. Исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды:

[pic 27] 

Решение:

Исследуем ряд  на абсолютную сходимость, для этого рассмотрим ряд из абсолютных величин:

[pic 28].

Для исследования этого ряда на сходимость воспользуемся признаком Даламбера:  если существует [pic 29], то при [pic 30] ряд [pic 31]сходится, а при [pic 32]расходится.

[pic 33]

[pic 34]

Следовательно, ряд  [pic 35] сходится.

Следовательно, ряд  [pic 36] сходится абсолютно.

Ответ:  ряд[pic 37] сходится абсолютно.

30. Найти область сходимости функционального ряда:

[pic 38]

Решение:

Исследуем его на сходимость по признаку Даламбера. Для общего члена можно записать:

[pic 39]

Вычислим предел:

[pic 40]