Математические ряды

5. Исследовать ряды на сходимость.

а)    [pic 1] 

Решение:

Для исследования числового ряда [pic 2] на сходимость применим предельный признак Коши. Если для знакоположительного ряда [pic 3] существует предел корня n-ой степени из общего члена ряда, [pic 4], то при [pic 5] ряд [pic 6]сходится, а при [pic 7]расходится.

[pic 8]

Так как предел больше 1, то ряд [pic 9] расходится.

Ответ: ряд [pic 10] расходится.

б) [pic 11] 

Решение:

Для исследования этого ряда на сходимость воспользуемся признаком Даламбера:  если существует [pic 12], то при [pic 13] ряд [pic 14]сходится, а при [pic 15]расходится.

[pic 16]

[pic 17]

Следовательно, ряд  [pic 18] сходится.

Ответ: ряд [pic 19]  сходится.

в) [pic 20] 

Решение:

Для исследования числового ряда [pic 21] на сходимость применим признак сравнения. Сравним со сходящимся рядом [pic 22].

Для любого n выполняется неравенство: [pic 23], следовательно, ряд [pic 24] сходится вместе с рядом[pic 25].

Ответ: ряд [pic 26] сходится.

15. Исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды:

[pic 27] 

Решение:

Исследуем ряд  на абсолютную сходимость, для этого рассмотрим ряд из абсолютных величин:

[pic 28].

Для исследования этого ряда на сходимость воспользуемся признаком Даламбера:  если существует [pic 29], то при [pic 30] ряд [pic 31]сходится, а при [pic 32]расходится.

[pic 33]

[pic 34]

Следовательно, ряд  [pic 35] сходится.

Следовательно, ряд  [pic 36] сходится абсолютно.

Ответ:  ряд[pic 37] сходится абсолютно.

25. Найти область сходимости функционального ряда:

[pic 38]

Решение:

Исследуем его на сходимость по признаку Даламбера. Для общего члена можно записать:

[pic 39]

Вычислим предел:

[pic 40]

...