Локальная и интегральная Теоремы Лапласа, примеры решения задач с экономиечским содержанием

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ МЕЖДУНАРОДНЫХ ОТНОШЕНИЙ

Кафедра международных экономических отношений

ЛОКАЛЬНАЯ И ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМЫ ЛАПЛАСА,

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

РЕФЕРАТ

Фисенко Тимофей Игоревич студента 2 курса, специальность

«Мировая экономика»

Преподаватель:

Доцент, кандидат физико-математических наук

Н. И. Широканова

Минск, 2023

ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятности – это научная область, которая изучает случайные события, явления, процессы, а также их характеристики, свойства, законы. На финансовых рынках большинство событий имеют случайный характер, поэтому они подчиняются принципам и законам этой науки. Невозможно точно предсказать результаты транзакций и операций на финансовых рынках, так как они зависят от множества факторов, которые сложно учесть. В математике вероятность определяется как числовой показатель, который оценивает – произойдет ли то или иное событие в будущем. Этот показатель может быть от нуля (когда событие абсолютно невероятно) до единицы (когда событие гарантированно случится). Обычно вероятность выражают в процентах. При расчетах с использованием теории вероятностей применяются также операции сложения и умножения, но с соблюдением определенных правил. Эта наука является важным инструментом для определения возможности установления связей и отношений [1, 2].

Когда изучают такую математическую дисциплину, как «теория вероятностей», возникает вопрос о ее практическом значении в жизни человека. В экономической сфере, которая играет большую роль в жизни общества, эта дисциплина имеет важное значение, поэтому она входит в программу обучения специалистов, таких как экономист и финансист. В частности, для анализа экономических данных используют формулу Бернулли, локальную теорему де Муавра-Лапласа, интегральную формулу Лапласа.

Теория вероятностей – это наука, которая занимается изучением методов, применяемых при решении задач, возникающих при анализе случайных величин, и выявлением массовых закономерностей. Из этого определения можно сделать вывод, что, если мы изучаем законы, регулирующие случайные события, тогда сможем повлиять на процесс их наступления.

ЛОКАЛЬНАЯ И ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМЫ ЛАПЛАСА,

Локальная и интегральная теоремы Лапласа являются приближенными методами вычисления вероятностей в схеме независимых испытаний Бернулли. Они основаны на том, что при большом числе испытаний n и относительно небольших значениях вероятности успеха p или неудачи q, биномиальное распределение вероятностей приближается к нормальному распределению, которое имеет более простую и удобную форму.

Локальная теорема Лапласа позволяет находить вероятность того, что в n испытаниях событие A произойдет ровно k раз. Она имеет вид:

[pic 1]

где Pn​(k) - вероятность по формуле Бернулли, ϕ(x) - функция Гаусса, определенная как

[pic 2]

А p и q - вероятности успеха и неудачи в каждом испытании соответственно.

Интегральная теорема Лапласа позволяет находить вероятность того, что в n испытаниях событие A произойдет не менее k1​ и не более k2​ раз. Она имеет вид:

[pic 3]

где Φ(x) - функция Лапласа, определенная как

[pic 4]

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

В экономической науке существует множество экономических показателей, которые не требуют точных значений, а допускают наличие незначительных отклонений. Методы теории вероятностей нужно применять там, где можно создать и проанализировать вероятностные модели действий или явлений. Примером могут быть характеристики в области кредитования и страхования [4].