Исследование функции

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

Кафедра «Материалы, технологии и конструирование машин»

Контрольная работа

по дисциплине «Информационные технологии»

на тему «Исследование функции»

Выполнил: студент гр. ТАМП (ТЛП)-15

И.И.Иванов

Проверил: доцент Н.Д. Оглезнев

Пермь, 2020

Содержание

I Теоретическая часть        3

1.1 Математическое описание методов нахождения корней уравнения        3

1.1.1 Метод дихотомии        3

1.1.2 Метод Ньютона (касательных)        4

1.1.3 Метод хорд (секущих)        5

1.2 Математическое описание методов нахождения определенного интеграла        6

1.2.1 Метод  левых/средних/правых прямоугольников/ метод трапеций/метод Симпсона – 1 метод по заданию из общей таблицы вариантов        6

Содержание сформировано автоматически с помощью вкладки «Ссылки --˃ Оглавление». После формирования контрольной работы необходимо обновить содержание

I Теоретическая часть

1.1 Математическое описание методов нахождения корней уравнения

1.1.1 Метод дихотомии

Это один из простейших методов нахождения корней нелинейных уравнений. Он состоит в следующем. Допустим, что отделение корней уравнения проведено и на отрезке [a ,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε (рис. 3.1).

Метод дихотомии, или половинного деления, заключается в следующем. Определяем середину отрезка [a ,b]

x= (a +b) /2

и вычисляем функцию f (x) . Далее делаем выбор, какую из двух частей отрезка взять для дальнейшего уточнения корня. Если левая часть уравнения f( x) есть непрерывная функция аргумента x , то корень будет находиться в той половине отрезка, на концах которой f (x) имеет разные знаки. На рис. 3.2 это будет отрезок [a ,x] , т.е. для очередного шага уточнения точку b перемещаем в середину отрезка x и продолжаем процесс деления как с первоначальным отрезком [a, b]. За один шаг промежуток существования корня сокращается ровно вдвое.

[pic 1]

Рис. 3.2-Метод дихотомии

Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока интервал
[a, b] не станет меньше заданной погрешности ε.

Следует учитывать, что функция f(x) вычисляется с некоторой абсолютной погрешностью ε1 . Вблизи корня, значения функции f (x) малы
по абсолютной величине и могут оказаться сравнимыми с погрешностью ее вычислений, т.е. можно попасть в полосу шумов 2 ε1, и дальнейшее уточнение корня окажется невозможным. Поэтому следует задавать
ширину полосы шумов и прекращать итерационный процесс при попадании в нее. Необходимо иметь в виду, что при уменьшении интервала
[a,b] увеличивается погрешность вычисления его длины за счет вычитания близких чисел. 

Метод дихотомии всегда сходится, причем можно гарантировать,
что полученное решение будет иметь любую наперед заданную
точность (в рамках разрядности компьютера). Однако метод довольно
медленный. Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень, уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен
(b - a) / 2n. За 10 итераций интервал уменьшится в 210 =1024 ≈103 раз, за 20
итераций интервал уменьшится в 220 ≈ 106 раз.

1.1.2 Метод Ньютона (касательных)

Метод предполагает приближение к корню по абсциссам точек
пересечения касательных к графику данной функции, проводимых в
точках, соответствующих предыдущим приближениям. Геометрически
метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой (рис. 3.2).