Исследование функции

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования

«Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

Кафедра «Инновационные технологии машиностроения»

Контрольная работа

по дисциплине «Информатика»

на тему «Исследование функции»

Выполнил: студент гр. БПМ-22-1бзу

С.А.Травина

Проверил: к.т.н, доцент П.Н. Килина

Пермь, 2023

Содержание

I Теоретическая часть…………………………………………………………...3

1.1 Математическое описание методов нахождения корней уравнения        ……..3

1.1.1 Метод дихотомии (метод половинного деления)……………………....3

1.1.2 Метод Ньютона (касательных)…………………………………………..5

1.1.3 Метод хорд (секущих)……………………………………………………9

1.2 Математическое описание методов нахождения определенного интеграла………………………………………………………………………..12

   1.2.1 Метод средних прямоугольников        …………………………………….12

Список литературы…………………………………………………………….17

I Теоретическая часть

1.1 Математическое описание методов нахождения корней уравнения

1.1.1 Метод дихотомии (метод половинного деления)

Метод половинного деления применяется для уточнения корня на выделенном участке, где этот корень является единственным. Это один из простых методов нахождения корней нелинейных уравнений.

Метод заключается в следующем. Отрезок [pic 1], на котором существует точка пересечения графика функции [pic 2] с осью [pic 3], делят пополам (Рисунок 1.1.). Полученное значение [pic 4] принимают в качестве начального приближения, и вычисляют значение функции [pic 5], при этом, если [pic 6], то выбирают тот из подынтервалов [pic 7] или [pic 8], на концах которого функция [pic 9] имеет противоположные знаки. В соответствии с рисунком 1.1. этим отрезком будет [pic 10].

[pic 11]

Рисунок 1.1. – Геометрическая иллюстрация метода

половинного деления

Полученный отрезок переименовывают в [pic 12] и снова делят пополам, затем проводят тот же анализ, что и при первоначальном делении. Деления сужающего отрезка, проверку и выбор повторяют до тех пор, пока длина отрезка, на концах которого функция имеет противоположные знаки, не станет меньше заданной точности вычислений [pic 13]. Проверку условия противоположности знаков функций выполняют посредством неравенства [pic 14], а условия остановки вычислений – путем проверки неравенства [pic 15].

Можно также проводить оценку значений функции [pic 16] после каждой i-ой итерации, пока одно из них по модулю не станет меньше заданного числа [pic 17], т.е. [pic 18].[pic 19]

Блок-схема алгоритма метода половинного деления изображена на рисунке 1.2. Здесь сужение отрезка проводится путем замены границы [pic 20] или [pic 21] на текущее приближенное значение корня [pic 22].

Метод половинного деления прост и очень надежен. Он сходится для любых непрерывных функций.

Рисунок 1.2. – Блок-схема алгоритма

метода половинного деления

Недостатком метода половинного деления является медленная сходимость вычислительного процесса. Следовательно, метод половинного деления целесообразно применять, когда требуется высокая надежность счета, а скорость сходимости несущественна.

1.1.2 Метод Ньютона (касательных)

Применение метода касательных или метода Ньютона основано на возможности замены графика функции [pic 23] некоторым участком прямой линии, если интервал [pic 24] достаточно мал. Графическая интерпретация метода касательных сводится к следующему (Рисунок 1.3.): пусть уже найдено первое приближенное значение [pic 25] корня уравнения [pic 26]. Проведем из этой точки вертикальную прямую до пересечения с графиком функции и обозначим эту точку А, если теперь провести в этой точке касательную до пересечения с осью [pic 27], то найденная точка [pic 28] будет ближе к точке пересечения кривой [pic 29], чем точка [pic 30]. Значит, чтобы найти следующее приближение необходимо определить значение абсциссы [pic 31]. Из треугольника [pic 32] следует, что катет [pic 33] является значением функции [pic 34] в точке [pic 35].