Знакомство с системами счисления

Знакомство с системами счисления.

Решение задач. Вариант 3(7,9).

1. Запишите, используя символы или с помощью знака равенства и фигурных скобок, множества:

А) A – больших 55, но меньших 77;

Б) A – множество цифр римской системы счисления.

Решение.

А). По условию задачи можно предположить, что речь идёт о действительных числах. Следовательно, задать множество A обычным перечислением невозможно.

Поэтому используем способ задания множества, для элементов которого указывается некоторое характеристическое свойство. При этом в фигурных скобках пишется обозначение элемента, затем проводится вертикальная черта, после которой пишется свойство, которым обладают элементы данного множества и только они.

Таким образом, множество A действительных чисел, больших 55, но меньших 77, запишется так: A = {x | x ∈ ℝ и 55 < x < 77}.

Эту запись можно прочитать так: множество A – это множество элементов x, являющихся действительными числами (принадлежащих множеству ℝ) и удовлетворяющих условию 55 < x < 77.

Б). В римской системе счисления для записи чисел используется всего семь цифр, являющихся буквами латинского алфавита, поэтому множество A можно задать перечислением, а именно: A = {I, V, X, L, C, D, M}.

2. Пусть A = {a1, a2, a3, a4} и B = {a3, a4, a5}. Найдите A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A. Изобразите данные множества с помощью кругов Эйлера.

Решение.

А). Пересечением множеств A и B называют множество A ∩ B, включающее те и только те элементы, которые одновременно принадлежат множествам A и B, то есть A ∩ B = {x | x ∈ A и x ∈ B}.

Получаем: A ∩ B = {a3, a4}.

Чтобы наглядно изображать множества и отношения между ними, рисуют круги, которые находятся между собой в этих отношения. Такие круги называют кругами Эйлера.

[pic 1]

Б). Объединением двух множеств А и В называется множество A ∪ B, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств, то есть A ∪ B = {x | x ∈ A или x ∈ B}.

Получаем: A ∪ B = {a1, a2, a3, a4, a5}.

[pic 2]

В). Разностью двух множеств A и B называется такое множество A \ B, в которое входят все те элементы, которые принадлежат A и не принадлежат В, то есть A \ B = {x | x ∈ A и x ∉ B}.

Получаем: A \ B = {a1, a2}.

[pic 3]

Г). Разность двух множеств B и A – это множество B \ A, в которое входят все те элементы, которые принадлежат B и не принадлежат A, то есть B \ A = {x | x ∈ B и x ∉ A}.

Получаем: B \ A = {a5}.

[pic 4]

3. Переведите из одной системы счисления в другую:  

А) 1278 в десятичную систему счисления;

Б) 217,4510 в двоичную систему счисления.

Решение.

А). Для преобразования числа из восьмеричной системы счисления в десятичную применяем схему Горнера, которая реализуется в виде следующей таблицы:

Исходное заполнение таблицы отмечено красным цветом. Числа в третьей строке получаются в результате сложение чисел в первых двух строках. Числа во второй строке получаются в результате умножения предыдущего числа из третьей строки на основание системы счисления 8.

Получили: 1278 = 8710.  

Б). Для преобразования дробного десятичного числа в дробное двоичное отдельно преобразуют целую и дробную части числа. Эти преобразования удобно выполнять с помощью таблиц.

Преобразование целой части числа выполняется последовательным делением на основание системы счисления 2.

Процесс прекращается в момент получения для частного нулевого значения. Чтобы получить искомый результат, нужно последовательно выписать все остатки снизу вверх.