Система счисления

Содержание

Введение

1. Непозиционные система счисления.

2. Позиционные системы счисления.

Непозиционные система счисления.

Ещё в глубокой древности возникла необходимость в записи натуральных чисел. Самой простой формой записи были зарубки или черточки на бирке, узлы на верёвке.  Число таких зарубок, черточек, узлов равнялось числу единиц в записываемом натуральном числе. Весьма сложно было и выполнять действия над числами. Поэтому возникли иные более экономные способы записи. Черточки, зарубки, узлы стали объединять в группы, состоящие из одинакового числа элементов. Так как чаще всего с помощью пальцев то в одну группу относили обычно 10 черточек-каждая группа изображала пальцы одного человека. При это счет вели несколько людей. Первый загибал по очереди пальцы на руках, а когда все пальцы оказывались загнутыми, он разгибал их, а второй человек загибал один палец. После этого отсчитывали второй десяток. Когда все пальцы второго человека оказывались загнутыми, он разгибал их, а третий человек загибал палец. Результат счета выражался примерно следующим образом: четыре пальца третьего человека, шесть пальцев второго человека, и два пальца первого человека (по-нашему это 462).

Наряду с группами в 10 черточек встречались и группы в 20 черточек (пальцы обеих рук и обеих ног). Такой счет двадцатками был принят у американского племени майя. До сих пор и французы вместо «восемьдесят семь» говорят «четыре раза двадцать и семь», а вместо «девяносто шесть» -«четыре раза двадцать и шестнадцать». Сохранились следы счета двадцатками в датском и в некотором других европейских языках. Чтобы не изображать слишком много черточек, стали обозначать целую группу черточек одним знаком. Уже в самых древних памятниках письменности, дошедших до наших дней, встречаются особые знаки для чисел 10, 100. Самые древние математические тексты, дошедшие до нас, были написаны в древнем Вавилоне около 5000 лет тому назад. Дошли до нас и математические тексты, написанные более 4000 лет тому назад в Древнем Египте. В Египте число 1 обозначалось знаком (иероглифом)   число, 10 иероглифом   , число 100 - иероглифом ‖

Чтобы записать число 45, писали так:[pic 1][pic 2]

∩∩[pic 3][pic 4][pic 5]

∩∩[pic 6]

При этом знак для 100 ничем не напоминал знак для 10, а знак для 1000 - знак для 100. Такие системы записи называют – непозиционными. В них значение каждого знака не зависит от его положения в записи числа.

∩∩[pic 7][pic 8][pic 9]

∩∩[pic 10][pic 11]

До сих пор иногда применяется непозиционная система записи чисел, которой пользовались древние римляне. Поскольку римляне завоевали многие страны, их способ записи чисел долго применялся в странах Западной Европы. Еще 200 лет тому назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами, так как считалось, что их труднее подделать, чем применяемые нами арабские цифры.

В основе римской системы записи чисел лежали знаки I, V, X, L, C, M, которыми обозначали соответственно числа 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000. Таким образом, эта система записи была связана со счетом на пальцах и носила черты как десятичного счета, так и счета пятерками. Это видно и из обозначения цифр: I обозначает один палец, V – раскрытую ладонь (т. е. 5 пальцев), X – две сложенные ладони (т. е. 10 пальцев). А обозначения C для 100 и M для 1000 – это первые буквы соответствующих латинских слов (centum – «сто», отсюда сантиметр – сотая часть метра, mille – «тысяча», отсюда миллиметр – тысячная часть метра и милая – тысяча двойных шагов).

Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков и единиц. Например, XXXVII означило число 37 (три десятка, пяток и две единицы), а DCLXXVIII – число 678. При этом цифры записывались в порядке убывания их значений слева направо. Но иногда порядок цифр менялся, и цифра с меньшим значением оказывалась записанной левее цифры с большим значением. В этом случае вместо сложения надо было вычитать из большего числа меньшее. Например, IV означало число 4=5-1, IX означало 9=10-1, XL – число 40=50-10, XC – число 90, CD – число 400 и CM – число 900. Таким образом, запись MCMLXIX читается 1969.