Замечательные топологические пространства
Автор: IRINA_M • Май 3, 2021 • Статья • 1,055 Слов (5 Страниц) • 248 Просмотры
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
REMARKABLE TOPOLOGICAL SPACES
И.В.МАСКАЙКИНА
I.V.Maskaykina
Уральский государственный педагогический
университет (Екатеринбург)
Науч. Рук. – Р.Ф.Мамалыга,
Кандидат педагогических наук
Аннотация: в данной статье рассмотрены топологические пространства на трехэлементном множестве, топологическое пространство «Стрелка Зоргенфрея» и «Прямая Зоргенфрея», а также описаны их свойства.
Abstract: In this article, we consider topological spaces on a three-element set, the topological space "Sorgenfrei Arrow" and "Sorgenfrei Straight Line", and also describe their properties.
Ключевые слова: топология; топологическое пространство; свойства.
Key words: topology; topological space; properties.
Топология является новейшим разделом в математике. Сейчас раздел общей топологии разработан достаточно хорошо, оформлен в книгах и учебниках Николы Бурбаки, Казимежа Куратовского, лекциях высших учебных заведений, методических пособиях.
Актуальность работы состоит в том, что при изучении данной темы были рассмотрены топологические пространства и некоторые их свойства, которые не вошли в курс топологии в ВУЗе. Объектом исследования является математическая дисциплина топология. Предметом исследования являются топологические пространства с топологией, отличной от естественной топологии на вещественнной прямой. Целью исследования является описание топологических пространств и их свойств.
- Топология на трехэлементном множестве (). [pic 1]
Для того чтобы рассматривать топологию на трехэлементном множестве, сначала нужно определить все множества, на которых возможна топология.
Пусть . Составим всевозможные комбинации элементов a, b и c множества Х, а также самого Х и Ø. Первым очевидным множеством является комбинация множеств Х и Ø: [pic 2][pic 3]
Данное множество является топологией, т.к. аксиомы 1-3 топологического пространства [1,с.52] очевидно выполняются.
Далее Ø и Х обязательно будут присутствовать во всех множествах для выполнения третьей аксиомы топологического пространства. Возьмем по одному элементу из и добавим в множество Ʈ1. Получим семейство (1):[pic 4]
[pic 5]
Рассмотрим множество Ʈ2. В данном случае распишем проверку аксиом подробно. Выполнимость аксиомы 3 очевидна, т.к. Х и Ø принадлежат Ʈ2. Проверим выполнимость аксиом 1, 2: . Первая аксиома выполняется; . Вторая аксиома выполняется. Из выполнимости аксиом 1-3 топологического пространства следует, что множество Ʈ2 является топологией на трехэлементном множестве . Аналогично множества Ʈ3, Ʈ4 являются топологией на заданном множестве. Следующее семейство (2) множеств из Х:; ; также является топологией на множестве Х аналогично предыдущему. [pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]
Рассмотрим такие семейства множеств как:
; ; (3)[pic 12][pic 13][pic 14]
(4) [pic 15]
Проверим выполнимость аксиом топологоческого пространства: для семейства множеств (3) не выполняется первая аксиома: , аналогично для семейства множеств (4). Следовательно, (3) и (4) не являются топологиями на топологическом пространстве Х.[pic 16]
Семейство (5):
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
Проверим выполнимость аксиом для Ʈ8:
- .[pic 20]
- .[pic 21]
- Х и Ø принадлежат Ʈ8. Следовательно, аксиомы1,2, 3 выполняются.
Из 1) – 3) следует, что Ʈ8 – топология на Х. Для Ʈ9 - Ʈ16 рассуждения аналогичны. Элементы семейства (5) являются топологией на Х.
...