Жазықтықтағы жəне кеңістіктегі координат жүйелері

ралық координат жүйесі  § 6 Жазықтықтағы жəне кеңістіктегі координат жүйелері.

1. Жазықтықтағы əр түрлі координат жүйелері

Анықтама 0 нүктесіне координат емес е, 2 е векторынан құралған 3-тікті жазықтықтағы аффиндік координат жүйесі деп аталады.  

0, е , 2 е түрінде жазады.

0 нүктесі арқылы өтетін 1 е ,жəне 2 е векторына параллель түзулер сəйкесінше абцисса жəне ордината остері деп аталады. Айталық, координат жүйесі берілген жазықтықта М нүктесі берілсін.

Анықтама: М нүктесі 0, е , 2 е  координат жүйесіндегі координаттары деп оның ΟΜ радиус векторының координатын айтады.

е, 2 е базис вектор

ΟΜ (х,у)  болса, М (х,у) белгіленеді. Анықтама. Координат векторы ортонормаланған базис құрайтын аффиндік координат жүйесі тікбұрышты декарт координат жүйесі деп аталады.

Əдетте, 0, е , 2 е белгіленеді. Нүктенің координаттарына қатысты қарапайым есептер  1-есеп. М1 (х1,у1), М2(х2 у2) 2ΜΜ векторының координатын табыңыз.

Шешуі: 2 1ΜΜ = 2 ΟΜ - 1 ΟΜ ⇔ 

               2 1ΜΜ

    

12

12 γγ χ х

  

2-есеп. Ортонормаланған тік бұрышты декарт координат жүйесінде М1(х,у) нүктелері берілсе

21 ΜΜ ұзындығын табу керек.  

1- есеп бойынша 2 1ΜΜ

    

12

12 γγ χ х

  

Т. 2 1ΜΜ = ( ) ( )2 12 2 12 γγ χχ +

3-есеп М нүктесі М1М2 кесіндісі х (х=-1)қатынасында бөледі деп аталады, егер 2 1ΜΜ =х

2ΜΜ (1) теңдігі орындалса, х>0 болғанда М нүктесі беріледі. Кесіндінің созындысында жатады.  М1(х1,у1,z1), М2(х2у2z2) нүктелері, х (х=-1) М1М2 кесіндісін х қатынасына бөлетін М (х,у) нүктесін табу керек. О – координат жүйесінің басы

OMOMOM ,, 2

1221 OMOMMM −= ( ) ( )

( ) 2

1

;

1

1

1)(

2121

21

2121

1

22

11

λ λ

λ λ

+ +

=

+ +

=

⇒

+ ⋅+

=

⇒⋅+=+⇒−=−⇒

    

−= −=

yy

y

xx

x

x OMxOM

OM

OMxOMOMxOMOMxOMOM

OMOMMM

OMOMMM

Кесіндіні бөлуші нүктелердің координаттарының формулалары Егер бөлуші М нүктесі М1М2 кесіндісінің ортасы болса, ( ) 11= λ

 теңдіктен шығады. Сондықтан М(х,у) – кесіндісінің ортасы десек, оның координаттары ( ) 3 2 ; 2 2121 yy y xx x + = + = Кесіндінің ортасының координаттарының формуласы.

4-есеп. Үшбұрыштың ауырлық центрінің координаталарын табу. М1 (х1,у1) М2 (х2,у2) М3 (х3,у3) – үшбұрыштың төбелері болса, оның ауырлық центрі М(х,у)  нүктесін табу керек. Үшбұрыштың ауырлық центрі оның медианаларының қиылысу нүктесі болады. Ал бұл нүкте үшін ( ) OCOBOAOM ++= 3 1 теңдігін дəлелдеу керек, олай болса

( ) 4

2

;

2 321321 yyy y xxx

x

++

=

++ =

5-есеп. Төбелері берілген үшбұрыштың ауданы туралы. А(х1,у1), В(х2,у2), С(х3,у3) нүктелері төбелері болатын үшбұрыштың ауданын осы нүктелердің координаталары арқылы өрнектеу формуласы төмендегідей болады.

( ) 5

, ,

2 1

1312

1312 yyyy xxxx

S ABC

−− −− =∆ 

Поляр координат жүйесі

Анықтама: О нүктесінен жəне кейбір i құралған жұпты поляр координат жүйесі деп

атайды. О нүктесі полюс, осы нүкте арқылы өтетін оң бағыты i бағытымен анықталатын түзу поляр ось деп аталады. Айталық, М нүктесі берілсін.

OM - М нүктесінің радиус векторы ( ) ϕρ == OMiOM , делік, осы сандар М нүктесінің поляр координаттары деп аталады. ( ) ρϕ ,M түрінде белгіленеді. ϕ - поляр бұрыш, ρ - поляр радиус. Нүктесінің поляр координатымен тікбұрышты координаталар арасындағы байланыс

формулаларын келтірейік. Ол үшін i 0, жəне j i 0, , координаттары  жүйелерін қарастырайық. Кейбір М нүктесінің осы жүйелердегі координаталары сəйкесінше ( )( ) yxp ,,, ρ болсын.

( ) 6

sin cos

:

  

= =

∆

ϕρ ϕρ

y x

OMN

Нүктесінің тік бұрышты координатасы поляр координаталары арқылы өрнектеледі. ( ) ( ) 7,6 22 x y arctgyx =+=⇒ ϕρ