Векторний та мішаний добутки векторів

Короткі теоретичні відомості із теми «Векторний та мішаний добутки векторів»

        Векторний добуток.

        Означення. Вектор   називається векторним добутком векторів  та , якщо він задовольняє наступні умови:[pic 1][pic 2][pic 3]

1. вектор   ортогональний до кожного із векторів  та ;[pic 4][pic 5][pic 6]
2. ,  де   – кут між векторами  та ;[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]
3. Трійки векторів    та  однаково орієнтовані.[pic 11][pic 12]

[pic 13][pic 14]

Векторний добуток векторів  та  позначають символом  або .[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

Векторний добуток володіє наступними властивостями:

1.   (антикомутативність векторного множення).[pic 19]
2. Довжина вектора  дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах  та ;[pic 20][pic 21][pic 22]
3. Векторний добуток двох ненульових векторів рівний нульовому вектору тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.
4. ). [pic 23]
5.  (дистрибутивність векторного множення).[pic 24]

        Мішаний добуток.

        Означення. Мішаний добуток векторів — це скалярний добуток вектора  на векторний добуток векторів    і  .[pic 25][pic 26][pic 27]

        Мішаний добуток позначається:  · [ × ].[pic 28][pic 29][pic 30]

        Властивості мішаного добутку векторів:

1. Геометричний зміст мішаного добутку: Модуль мішаного добутку трьох векторів ,  і  дорівнює об'єму паралелепіпеда, утвореного цими векторами:[pic 31][pic 32][pic 33]

Vпарал = | · [ × ]|.[pic 34][pic 35][pic 36]

1. Геометричний зміст мішаного добутку: Об'єм піраміди утвореної трьома векторами ,  і  дорівнює одній шостій частині від модуля мішаного добутку цих векторів:[pic 37][pic 38][pic 39]

              Vпіраміди= | · [ × ]|.[pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

1. Якщо мішаний добуток трьох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори компланарні.

 · [ × ]=  · ( · ) -  · ( · );  [pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

 · [ × ]=  · [ × ] =  · [ × ] = - · [ × ] = - · [ × ] =                = - · [ × ]; [pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70]

 · [ × ] +  · [ × ] +  · [ × ] = 0 – тотожність Якобі.[pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79]

Приклади розв’язання задач

Задача 1. Довести, що у всякому трикутнику АВС   , де а, b, c – довжини сторін трикутника.[pic 80]

Доведення:[pic 81]

[pic 82]        Подамо площу трикутника через векторний добуток, по-черзі, для кожного із кутів трикутника АВС.

[pic 83]

[pic 85][pic 84]

.[pic 86]

Прирівняємо ці три площі між собою:

                 /[pic 87][pic 88]

                                  [pic 90][pic 89]